Решите неравенство ${\log }_{3}^{2}({x}^{2}-16)-5{\log }_{3}({x}^{2}-16)+6\ge 0$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(-\infty;-\sqrt{43}]\cup[-5;-4)\cup(4;5]\cup[\sqrt{43};+\infty)$.
Решение
Нужно решить неравенство с квадратом одного и того же логарифма. Сначала его аргумент должен быть строго положителен:
$$x^{2} - 16>0,\qquad x\in\left(-\infty, -4\right) \cup \left(4, \infty\right).$$
Введём новую переменную:
$$t=\log_{3}(x^{2} - 16).$$
Тогда неравенство становится квадратным:
$$t^2-5t+6\ge0.$$
Вычислим дискриминант и корни, чтобы получить границы знаков:
$$D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm1}2,\qquad t_1=2,\quad t_2=3.$$
Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ неотрицателен вне корней и равен нулю на корнях:
$$t\le2\quad\text{или}\quad t\ge3.$$
Возвращаемся к аргументу логарифма. Основание 3 больше 1, поэтому знак при сравнении аргументов сохраняется. Но положительность аргумента обязательно оставляем:
$$0<x^{2} - 16\le3^{2}=9,$$
$$x^{2} - 16\ge3^{3}=27.$$
В первом случае прибавляем 16 ко всем частям:
$$16<x^2\le16+9=25.$$
Во втором случае:
$$x^2\ge16+27=43.$$
Для неотрицательных чисел сравнение квадратов равносильно сравнению модулей. Например, $x^2\ge q$ при $q>0$ означает $x\le-\sqrt q$ или $x\ge\sqrt q$. А $x^2\le q$ означает $-\sqrt q\le x\le\sqrt q$. Применяя это к обоим случаям и сохраняя строгие границы ОДЗ, получаем ответ:
$$x\in\left(-\infty, - \sqrt{43}\right] \cup \left[-5, -4\right) \cup \left(4, 5\right] \cup \left[\sqrt{43}, \infty\right).$$
Корни квадратного неравенства по $t$ включены, поскольку исходный знак нестрогий; нулевой аргумент логарифма запрещён независимо от этого.