Решите неравенство ${\log }_{0,5}({x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27)\le {\log }_{0,25}{(x-3)}^{4}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[-2;3)\cup(3;+\infty)$.
Решение
Начнём с ОДЗ. Кубический аргумент разложим группировкой:
$$x^3-3x^2-9x+27=x^2(x-3)-9(x-3)=(x-3)(x^2-9)$$
$$=(x-3)(x-3)(x+3)=(x-3)^2(x+3).$$
Первый логарифм требует положительности этого выражения: $x>-3$, $x\ne3$. Второй требует $(x-3)^4>0$, то есть тоже $x\ne3$. Итак:
$$x>-3,\qquad x\ne3.$$
Приведём основания к $0{,}5$. Поскольку $0{,}25=(0{,}5)^2$, по формуле смены основания:
$$\log_{0{,}25}U=\frac{\log_{0{,}5}U}{\log_{0{,}5}(0{,}5)^2}=\frac12\log_{0{,}5}U.$$
Запишем четвёртую степень как квадрат положительного $(x-3)^2$:
$$\frac12\log_{0{,}5}(x-3)^4=\frac12\log_{0{,}5}(((x-3)^2)^2)=\log_{0{,}5}(x-3)^2.$$
Сравним аргументы. Логарифм с основанием между 0 и 1 убывает, поэтому знак обязательно меняется:
$$\log_{0{,}5}((x-3)^2(x+3))\le\log_{0{,}5}(x-3)^2$$
$$\Longleftrightarrow\quad(x-3)^2(x+3)\ge(x-3)^2.$$
Делим на строго положительный квадрат:
$$x+3\ge1\ \Longrightarrow x\ge-2.$$
Совмещаем с ОДЗ, сохраняя запрещённое $x=3$. При $x=-2$ исходные аргументы положительны, и неравенство обращается в равенство. Ответ:
$$x\in[-2;3)\cup(3;+\infty).$$