Решите неравенство ${\log }_{11}(8{x}^{2}+7)-{\log }_{11}({x}^{2}+x+1)\ge {\log }_{11}(\frac{x}{x+5}+7)$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(-\infty;-12]\cup(-\frac{35}{8};0]$.
Решение
Первый аргумент $8x^2+7>0$ всегда. Второй также положителен, что видно из выделения квадрата:
$$x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0.$$
Третий аргумент:
$$\frac{x}{x+5}+7=\frac{x+7(x+5)}{x+5}=\frac{8x+35}{x+5}>0.$$
Он положителен при одинаковых знаках числителя и знаменателя: $x<-5$ или $x>-35/8$. Это и есть ОДЗ.
На найденной области все аргументы положительны. Используем свойства логарифмов: сумма — логарифм произведения, разность — логарифм частного. Основание 11 больше 1, поэтому логарифм возрастает: при сравнении аргументов знак сохраняется. После перехода к аргументам переносим все слагаемые влево.
$$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}-\frac{8x+35}{x+5}\ge0.$$
Приводим к знаменателю $(x^2+x+1)(x+5)$. Общий числитель:
$$N=(8x^2+7)(x+5)-(8x+35)(x^2+x+1).$$
Раскрываем произведения отдельно:
$$(8x^2+7)(x+5)=8x^3+40x^2+7x+35,$$
$$(8x+35)(x^2+x+1)=8x^3+43x^2+43x+35.$$
Вычитаем:
$$N=8x^3+40x^2+7x+35-8x^3-43x^2-43x-35=-3x^2-36x.$$
Теперь все исходные преобразования свели задачу к одной рациональной дроби:
$$\frac{8 x^{2} + 7}{x^{2} + x + 1} - \frac{8 x + 35}{x + 5}\ge0.$$
Приведение к общему знаменателю даёт числитель и знаменатель:
$$N=- 3 x^{2} - 36 x,\qquad D=x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 5.$$
Разберём числитель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант:
$$D=(-36)^2-4\cdot(-3)\cdot(0)=1296.$$
$$x_{1,2}=\frac{-(-36)\pm\sqrt{1296}}{2\cdot(-3)}.$$
$$x\in\left\{-12,0\right\}.$$
Разберём знаменатель; факторизацию выведем, чтобы не угадывать её.
По теореме о рациональном корне можно проверять дроби, у которых числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. Проверим $-5$:
$$P(-5)=1\cdot\left(-5\right)^{3}+6\cdot\left(-5\right)^{2}+6\cdot\left(-5\right)^{1}+5\cdot\left(-5\right)^{0}=0.$$
Раз корень найден, делим многочлен на $x + 5$. На каждом шаге делим старшие члены, умножаем делитель и вычитаем:
$$\frac{x^{3}}{x}=x^{2},$$
$$x^{2}\left(x + 5\right)=x^{3} + 5 x^{2},$$
$$\left(x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 5\right)-\left(x^{3} + 5 x^{2}\right)=x^{2} + 6 x + 5.$$
$$\frac{x^{2}}{x}=x,$$
$$x\left(x + 5\right)=x^{2} + 5 x,$$
$$\left(x^{2} + 6 x + 5\right)-\left(x^{2} + 5 x\right)=x + 5.$$
$$\frac{x}{x}=1,$$
$$1\left(x + 5\right)=x + 5,$$
$$\left(x + 5\right)-\left(x + 5\right)=0.$$
$$x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 5=\left(x + 5\right)\left(x^{2} + x + 1\right).$$
Для оставшегося квадратного трёхчлена вычислим дискриминант:
$$D=(1)^2-4\cdot(1)\cdot(1)=-3.$$
Дискриминант отрицателен, действительных нулей нет. Знак такого трёхчлена везде совпадает со знаком старшего коэффициента $1$.
Итак, для исследования знака получена дробь:
$$\frac{- 3 x \left(x + 12\right)}{\left(x + 5\right) \left(x^{2} + x + 1\right)}\ge0.$$
Применим метод интервалов. У линейного множителя $t-r$ знак минус слева от $r$ и плюс справа; положительный постоянный множитель знак не меняет. Чётная степень ненулевого множителя положительна по обе стороны от корня. Нули знаменателя всегда запрещены. Нули числителя включаем, поскольку неравенство нестрогое, если они не запрещены исходными ограничениями.
$$-\infty<x<-12:\quad N\ -,\quad D\ -,\quad N/D\ +.$$
$$-12<x<-5:\quad N\ +,\quad D\ -,\quad N/D\ -.$$
$$-5<x<0:\quad N\ +,\quad D\ +,\quad N/D\ +.$$
$$0<x<\infty:\quad N\ -,\quad D\ +,\quad N/D\ -.$$
Оставляем нужный знак, добавляем допустимые нули числителя и пересекаем с исходной областью. Именно исходной: сокращение множителя не разрешает прежний нулевой знаменатель. Получаем:
$$x\in \left(-\infty, -12\right] \cup \left(- \frac{35}{8}, 0\right].$$
Ответ:
$$x\in \left(-\infty, -12\right] \cup \left(- \frac{35}{8}, 0\right].$$