Решите неравенство ${\log }_{2}^{2}({x}^{2}-9)-9{\log }_{2}({x}^{2}-9)+20\ge 0$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in(-\infty;-\sqrt{41}]\cup[-5;-3)\cup(3;5]\cup[\sqrt{41};+\infty)$.
Решение
Нужно решить неравенство с квадратом одного и того же логарифма. Сначала его аргумент должен быть строго положителен:
$$x^{2} - 9>0,\qquad x\in\left(-\infty, -3\right) \cup \left(3, \infty\right).$$
Введём новую переменную:
$$t=\log_{2}(x^{2} - 9).$$
Тогда неравенство становится квадратным:
$$t^2-9t+20\ge0.$$
Вычислим дискриминант и корни, чтобы получить границы знаков:
$$D=(-9)^2-4\cdot1\cdot20=81-80=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{9\pm1}2,\qquad t_1=4,\quad t_2=5.$$
Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ неотрицателен вне корней и равен нулю на корнях:
$$t\le4\quad\text{или}\quad t\ge5.$$
Возвращаемся к аргументу логарифма. Основание 2 больше 1, поэтому знак при сравнении аргументов сохраняется. Но положительность аргумента обязательно оставляем:
$$0<x^{2} - 9\le2^{4}=16,$$
$$x^{2} - 9\ge2^{5}=32.$$
В первом случае прибавляем 9 ко всем частям:
$$9<x^2\le9+16=25.$$
Во втором случае:
$$x^2\ge9+32=41.$$
Для неотрицательных чисел сравнение квадратов равносильно сравнению модулей. Например, $x^2\ge q$ при $q>0$ означает $x\le-\sqrt q$ или $x\ge\sqrt q$. А $x^2\le q$ означает $-\sqrt q\le x\le\sqrt q$. Применяя это к обоим случаям и сохраняя строгие границы ОДЗ, получаем ответ:
$$x\in\left(-\infty, - \sqrt{41}\right] \cup \left[-5, -3\right) \cup \left(3, 5\right] \cup \left[\sqrt{41}, \infty\right).$$
Корни квадратного неравенства по $t$ включены, поскольку исходный знак нестрогий; нулевой аргумент логарифма запрещён независимо от этого.