Решите неравенство ${\log }_{4}((x-5)({x}^{2}-2x-15))+1\ge 0,5{\log }_{2}{(x-5)}^{2}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $x\in[-\frac{11}{4};5)\cup(5;+\infty)$.
Решение
Нужно решить неравенство и сохранить положительность каждого аргумента. Сначала разложим квадратный трёхчлен группировкой:
$$x^2-2x-15=x^2+3x-5x-15=x(x+3)-5(x+3)=(x-5)(x+3).$$
Поэтому первый аргумент:
$$(x-5)(x^2-2x-15)=(x-5)^2(x+3).$$
Квадрат строго положителен при $x\ne5$, и тогда знак произведения определяет $x+3$. Второй аргумент $(x-5)^2$ также требует $x\ne5$. ОДЗ:
$$x>-3,\qquad x\ne5.$$
Приведём правый логарифм к основанию 4. По формуле смены основания:
$$\log_4U=\frac{\log_2U}{\log_24}=\frac12\log_2U.$$
Поэтому переносим правый логарифм влево и объединяем разность:
$$\log_4((x-5)^2(x+3))-\log_4((x-5)^2)+1\ge0,$$
$$\log_4\frac{(x-5)^2(x+3)}{(x-5)^2}\ge-1.$$
На ОДЗ квадрат ненулевой, сокращение допустимо. Запрет $x=5$ при этом остаётся:
$$\log_4(x+3)\ge-1.$$
Основание 4 больше 1, поэтому:
$$x+3\ge4^{-1}=\frac14\ \Longrightarrow x\ge\frac14-3=\frac{1-12}4=-\frac{11}4.$$
Эта граница больше $-3$, поэтому первое ограничение уже выполнено. Исключаем только 5. В точке $-11/4$ получено равенство и оба аргумента положительны. Ответ:
$$x\in[-11/4;5)\cup(5;+\infty).$$