В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m={m}_{0} \cdot {2}^{- \frac{τ}{T}}$, где ${m}_{0}$ — начальная масса изотопа (в мг), $τ$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ — период полураспада
в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.
Ответ: $16$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное и способ.
Нужно найти время до заданной массы. Обозначим это время t в минутах. Масса меняется по формуле из условия, поэтому составим уравнение относительно t:
$$m=m_0\cdot2^{-t/T}$$
Шаг 2. Подставляем начальную массу, конечную массу и период полураспада:
$$39=156\cdot2^{-t/8}$$
Делим обе части на начальную массу. Так степень с неизвестным показателем останется одна:
$$2^{-t/8}=\frac{39}{156}=\frac{1}{4}$$
Шаг 3. Представляем обе части степенями одного основания 2. Сначала:
$$4=2^{2}$$
Обратное число получается при отрицательном показателе:
$$\frac{1}{4}=\frac1{2^{2}}=2^{-2}$$
Значит:
$$2^{-t/8}=2^{-2}$$
У степеней с одинаковым основанием 2 равны показатели. Получаем линейное уравнение:
$$-\frac{t}{8}=-2$$
Умножаем обе части на −1:
$$\frac{t}{8}=2$$
Теперь умножаем обе части на период полураспада:
$$t=2\cdot8=16$$
Шаг 4. Проверяем найденное время:
$$\frac{t}{T}=\frac{16}{8}=2$$
$$m=156\cdot2^{-2}=\frac{156}{4}=39$$
Масса получилась именно такой, как требуется. Время положительно.
Ответ: $16$ мин.