Степенные уравнения и неравенства — задание №9 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Расстояние от города обозначено буквой $S$ и измеряется в километрах. Нужно найти момент, когда $S=154$ км. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 154, вместо начальной скорости — 60, вместо ускорения — 32. Неизвестным остаётся только время t: $$154=60t+\frac{32t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{32}{2}=16$$ После этой операции формула имеет вид: $$16 t^{2} + 60 t=154$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 154 из обеих частей. Получаем уравнение: $$16 t^{2} + 60 t - 154=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 2: $$8 t^{2} + 30 t - 77=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=30,\qquad C=-77$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(30)^2=900$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-77)=-2464$$ $$D=B^2-4AC=900-(-2464)=3364$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{3364}=58$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)+58}{2\cdot(8)}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)-58}{2\cdot(8)}=\frac{-88}{16}=- \frac{11}{2}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $- \frac{11}{2}$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{7}{4}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{7}{4})=16 \left(\frac{7}{4}\right)^{2} + 60 \left(\frac{7}{4}\right)$$ Возводим число в степень с показателем 2. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7^2}{4^2}=\frac{7\cdot7}{4\cdot4}=\frac{49}{16}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot \frac{49}{16}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \cdot \frac{7}{4}=105$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$49 + 105=154$$ Получили 154, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$\frac74\cdot60=\frac{7\cdot60}{4}=7\cdot15=105.$$ Ответ: $105$ мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время до полного опустошения бака. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 0. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$H(t)=at^2+bt+H_0$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$0=8+(- \frac{2}{3})t+(\frac{1}{72})t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 0 из обеих частей. Получаем уравнение: $$\frac{t^{2}}{72} - \frac{2 t}{3} + 8=0$$ Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 72: $$t^{2} - 48 t + 576=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-48,\qquad C=576$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-48)^2=2304$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(576)=2304$$ $$D=B^2-4AC=2304-(2304)=0$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{0}=0$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-48)+0}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-48)-0}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Полное опустошение означает нулевой уровень воды. Полученный единственный момент неотрицателен. До него высота положительна; после опустошения формула движения уровня уже не описывает продолжающееся вытекание. $$t=24$$ Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$H(24)=\frac{\left(24\right)^{2}}{72} - \frac{2 \left(24\right)}{3} + 8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(- \frac{2}{3}\right) 24=-16$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$24^{2}=576$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\frac{1}{72} \cdot 576=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-16 + 8 + 8=0$$ Получили 0, как требовалось в условии. Ответ: $24$ мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 72. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 72, вместо начальной скорости — 90, вместо ускорения — 16. Неизвестным остаётся только время t: $$72=90t+\frac{16t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{16}{2}=8$$ После этой операции формула имеет вид: $$8 t^{2} + 90 t=72$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 72 из обеих частей. Получаем уравнение: $$8 t^{2} + 90 t - 72=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 2: $$4 t^{2} + 45 t - 36=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=4,\qquad B=45,\qquad C=-36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(45)^2=2025$$ $$4AC=4\cdot(4)\cdot(-36)=-576$$ $$D=B^2-4AC=2025-(-576)=2601$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2601}=51$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(45)+51}{2\cdot(4)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(45)-51}{2\cdot(4)}=\frac{-96}{8}=-12$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $-12$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{3}{4}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{3}{4})=8 \left(\frac{3}{4}\right)^{2} + 90 \left(\frac{3}{4}\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$90 \cdot \frac{3}{4}=\frac{135}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$\frac{9}{2} + \frac{135}{2}=72$$ Получили 72, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$0{,}75\cdot60=45$$ Ответ: $45$ мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти продолжительность нахождения мяча не ниже заданной высоты. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 6. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$h(t)=h_0+v_0t-5t^2$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$6=1{,}6+(13)t+(-5)t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 6 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- 5 t^{2} + 13 t - \frac{22}{5}=0$$ Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 5: $$- 25 t^{2} + 65 t - 22=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -1: $$25 t^{2} - 65 t + 22=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=25,\qquad B=-65,\qquad C=22$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-65)^2=4225$$ $$4AC=4\cdot(25)\cdot(22)=2200$$ $$D=B^2-4AC=4225-(2200)=2025$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2025}=45$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-65)+45}{2\cdot(25)}=\frac{110}{50}=\frac{11}{5}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-65)-45}{2\cdot(25)}=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. По условию нужна высота не менее заданной, то есть равенство тоже разрешено. Запишем неравенство: $$- 5 t^{2} + 13 t + \frac{8}{5}\ge 6$$ После переноса и умножения на −1 знак неравенства меняется. Получается квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, который должен быть неположительным: $$25 t^{2} - 65 t + 22\le0$$ Этот трёхчлен равен нулю в найденных корнях. Между корнями его множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательное; снаружи — одинаковые знаки, поэтому положительное. $$0{,}4\le t\le 2{,}2$$ Но спрашивается длительность, а не один момент. Вычитаем начало промежутка из конца: $$\Delta t=2{,}2-0{,}4=1{,}8$$ Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$h(\frac{2}{5})=- 5 \left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 13 \left(\frac{2}{5}\right) + \frac{8}{5}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \frac{4}{25}=- \frac{4}{5}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$13 \cdot \frac{2}{5}=\frac{26}{5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} + \frac{26}{5}=6$$ Получили 6, как требовалось в условии. Ответ: $1{,}8$ с.

Шаг 1. Выбираем неизвестное и выражаем его степень. Нужно найти положительную температуру T. Закон Стефана—Больцмана связывает её с мощностью и площадью: $$P=\sigma S T^4$$ Чтобы оставить степень температуры одну, делим обе части на положительное произведение σS: $$T^4=\frac{P}{\sigma S}$$ Шаг 2. Подставляем заданные значения, включая площадь с дробным множителем: $$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{2401}\cdot10^{22}}$$ Деление на дробный множитель 1/2401 заменяем умножением на 2401. Степени десятки пока считаем отдельно: $$T^4=\frac{5{,}7\cdot2401}{5{,}7}\cdot10^{26-(-8+22)}$$ $$5{,}7\cdot2401=13685{,}7$$ $$\frac{13685{,}7}{5{,}7}=2401$$ $$-8+22=14$$ $$26-(14)=12$$ $$T^4=2401\cdot10^{12}$$ Шаг 3. Выделяем полную четвёртую степень. Удобно представить десятку в степени 12, потому что 12=4·3: $$10^{12}=10^{0}\cdot10^{12}$$ $$2401\cdot10^{0}=2401$$ $$T^4=2401\cdot10^{12}$$ Проверяем, какое число даёт коэффициент в четвёртой степени. Сначала квадрат, затем квадрат результата: $$7^2=7\cdot7=49$$ $$(49)^2=2401$$ $$10^{12}=(10^3)^4=1000^4$$ Произведение четвёртых степеней — четвёртая степень произведения: $$T^4=7^4\cdot1000^4=(7\cdot1000)^4$$ Температура в кельвинах положительна. Поэтому выбираем положительный четвёртый корень: $$T=7\cdot1000=7000$$ Ответ: $7000$ К.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти продолжительность нахождения мяча не ниже заданной высоты. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 3. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$h(t)=h_0+v_0t-5t^2$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$3=1{,}4+(9)t+(-5)t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 3 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- 5 t^{2} + 9 t - \frac{8}{5}=0$$ Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 5: $$- 25 t^{2} + 45 t - 8=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -1: $$25 t^{2} - 45 t + 8=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=25,\qquad B=-45,\qquad C=8$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-45)^2=2025$$ $$4AC=4\cdot(25)\cdot(8)=800$$ $$D=B^2-4AC=2025-(800)=1225$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{1225}=35$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-45)+35}{2\cdot(25)}=\frac{80}{50}=\frac{8}{5}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-45)-35}{2\cdot(25)}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. По условию нужна высота не менее заданной, то есть равенство тоже разрешено. Запишем неравенство: $$- 5 t^{2} + 9 t + \frac{7}{5}\ge 3$$ После переноса и умножения на −1 знак неравенства меняется. Получается квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, который должен быть неположительным: $$25 t^{2} - 45 t + 8\le0$$ Этот трёхчлен равен нулю в найденных корнях. Между корнями его множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательное; снаружи — одинаковые знаки, поэтому положительное. $$0{,}2\le t\le 1{,}6$$ Но спрашивается длительность, а не один момент. Вычитаем начало промежутка из конца: $$\Delta t=1{,}6-0{,}2=1{,}4$$ Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$h(\frac{1}{5})=- 5 \left(\frac{1}{5}\right)^{2} + 9 \left(\frac{1}{5}\right) + \frac{7}{5}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \frac{1}{25}=- \frac{1}{5}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot \frac{1}{5}=\frac{9}{5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{1}{5} + \frac{7}{5} + \frac{9}{5}=3$$ Получили 3, как требовалось в условии. Ответ: $1{,}4$ с.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время работы лебёдки. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 2500. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 2500, вместо начальной скорости — 50, вместо ускорения — 4. Неизвестным остаётся только время t: $$2500=50t+\frac{4t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{4}{2}=2$$ После этой операции формула имеет вид: $$2 t^{2} + 50 t=2500$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 2500 из обеих частей. Получаем уравнение: $$2 t^{2} + 50 t - 2500=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 2: $$t^{2} + 25 t - 1250=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=25,\qquad C=-1250$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(25)^2=625$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-1250)=-5000$$ $$D=B^2-4AC=625-(-5000)=5625$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{5625}=75$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(25)+75}{2\cdot(1)}=\frac{50}{2}=25$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(25)-75}{2\cdot(1)}=\frac{-100}{2}=-50$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $-50$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $25$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$\varphi(25)=2 \left(25\right)^{2} + 50 \left(25\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$25^{2}=625$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$2 \cdot 625=1250$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$50 \cdot 25=1250$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$1250 + 1250=2500$$ Получили 2500, как требовалось в условии. Ответ: $25$ мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время работы лебёдки. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 2250. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 2250, вместо начальной скорости — 15, вместо ускорения — 6. Неизвестным остаётся только время t: $$2250=15t+\frac{6t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{6}{2}=3$$ После этой операции формула имеет вид: $$3 t^{2} + 15 t=2250$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 2250 из обеих частей. Получаем уравнение: $$3 t^{2} + 15 t - 2250=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 3: $$t^{2} + 5 t - 750=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-750$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(5)^2=25$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(-750)=-3000$$ $$D=B^2-4AC=25-(-3000)=3025$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{3025}=55$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+55}{2\cdot(1)}=\frac{50}{2}=25$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-55}{2\cdot(1)}=\frac{-60}{2}=-30$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $-30$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $25$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$\varphi(25)=3 \left(25\right)^{2} + 15 \left(25\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$25^{2}=625$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$3 \cdot 625=1875$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$15 \cdot 25=375$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$375 + 1875=2250$$ Получили 2250, как требовалось в условии. Ответ: $25$ мин.

Шаг 1. Выбираем неизвестное и выражаем его степень. Нужно найти положительную температуру T. Закон Стефана—Больцмана связывает её с мощностью и площадью: $$P=\sigma S T^4$$ Чтобы оставить степень температуры одну, делим обе части на положительное произведение σS: $$T^4=\frac{P}{\sigma S}$$ Шаг 2. Подставляем заданные значения, включая площадь с дробным множителем: $$T^4=\frac{9{,}12\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{256}\cdot10^{21}}$$ Деление на дробный множитель 1/256 заменяем умножением на 256. Степени десятки пока считаем отдельно: $$T^4=\frac{9{,}12\cdot256}{5{,}7}\cdot10^{26-(-8+21)}$$ $$9{,}12\cdot256=2334{,}72$$ $$\frac{2334{,}72}{5{,}7}=409{,}6$$ $$-8+21=13$$ $$26-(13)=13$$ $$T^4=409{,}6\cdot10^{13}$$ Шаг 3. Выделяем полную четвёртую степень. Удобно представить десятку в степени 12, потому что 12=4·3: $$10^{13}=10^{1}\cdot10^{12}$$ $$409{,}6\cdot10^{1}=4096$$ $$T^4=4096\cdot10^{12}$$ Проверяем, какое число даёт коэффициент в четвёртой степени. Сначала квадрат, затем квадрат результата: $$8^2=8\cdot8=64$$ $$(64)^2=4096$$ $$10^{12}=(10^3)^4=1000^4$$ Произведение четвёртых степеней — четвёртая степень произведения: $$T^4=8^4\cdot1000^4=(8\cdot1000)^4$$ Температура в кельвинах положительна. Поэтому выбираем положительный четвёртый корень: $$T=8\cdot1000=8000$$ Ответ: $8000$ К.

Шаг 1. Используем закон из условия. Нужно найти положительный объём V. Давление и показатель степени известны: $$pV^{5/3}=6{,}4\cdot10^6$$ Шаг 2. Подставляем давление и делим обе части на него: $$2\cdot10^5 V^{5/3}=6{,}4\cdot10^6$$ $$V^{5/3}=\frac{6{,}4\cdot10^6}{2\cdot10^5}$$ Делим коэффициенты и вычитаем показатели степеней с одинаковым основанием: $$6{,}4:2=3{,}2$$ $$10^6:10^5=10^{6-5}=10$$ $$V^{5/3}=3{,}2\cdot10=32$$ Шаг 3. Чтобы убрать показатель 5/3, возводим обе положительные части в обратную степень 3/5. При степени степени показатели перемножаются: $$(V^{5/3})^{3/5}=32^{3/5}$$ $$V^{(5/3)\cdot(3/5)}=V^1=V$$ Представим 32 степенью числа 2: $$32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$ $$V=(2^5)^{3/5}=2^{5\cdot(3/5)}=2^3=8$$ Шаг 4. Проверяем: $$8^{5/3}=(2^3)^{5/3}=2^5=32$$ $$2\cdot10^5\cdot32=64\cdot10^5=6{,}4\cdot10^6$$ Правая часть исходного закона восстановлена, объём положителен. Ответ: $8$ м³.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 21. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 21, вместо начальной скорости — 60, вместо ускорения — 18. Неизвестным остаётся только время t: $$21=60t+\frac{18t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{18}{2}=9$$ После этой операции формула имеет вид: $$9 t^{2} + 60 t=21$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 21 из обеих частей. Получаем уравнение: $$9 t^{2} + 60 t - 21=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 3: $$3 t^{2} + 20 t - 7=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=3,\qquad B=20,\qquad C=-7$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(20)^2=400$$ $$4AC=4\cdot(3)\cdot(-7)=-84$$ $$D=B^2-4AC=400-(-84)=484$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)+22}{2\cdot(3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)-22}{2\cdot(3)}=\frac{-42}{6}=-7$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $-7$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{1}{3}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{1}{3})=9 \left(\frac{1}{3}\right)^{2} + 60 \left(\frac{1}{3}\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$9 \cdot \frac{1}{9}=1$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \cdot \frac{1}{3}=20$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$1 + 20=21$$ Получили 21, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$\frac{1}{3}\cdot60=20$$ Ответ: $20$ мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 123. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 123, вместо начальной скорости — 70, вместо ускорения — 16. Неизвестным остаётся только время t: $$123=70t+\frac{16t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{16}{2}=8$$ После этой операции формула имеет вид: $$8 t^{2} + 70 t=123$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 123 из обеих частей. Получаем уравнение: $$8 t^{2} + 70 t - 123=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=70,\qquad C=-123$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(70)^2=4900$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-123)=-3936$$ $$D=B^2-4AC=4900-(-3936)=8836$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{8836}=94$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(70)+94}{2\cdot(8)}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(70)-94}{2\cdot(8)}=\frac{-164}{16}=- \frac{41}{4}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $- \frac{41}{4}$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{3}{2}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{3}{2})=8 \left(\frac{3}{2}\right)^{2} + 70 \left(\frac{3}{2}\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot \frac{9}{4}=18$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$70 \cdot \frac{3}{2}=105$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$18 + 105=123$$ Получили 123, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$1{,}5\cdot60=90$$ Ответ: $90$ мин.