Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P=σ S {T}^{4},$ где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $σ=5,7\cdot {10}^{- 8} \frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^{2}\cdot {\text{К}}^{4}}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^{2}$), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{2401}\cdot {10}^{22} {\text{м}}^{2},$ а мощность её излучения равна $5,7\cdot {10}^{26} \text{Вт}.$ Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
Ответ: $7000$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное и выражаем его степень.
Нужно найти положительную температуру T. Закон Стефана—Больцмана связывает её с мощностью и площадью:
$$P=\sigma S T^4$$
Чтобы оставить степень температуры одну, делим обе части на положительное произведение σS:
$$T^4=\frac{P}{\sigma S}$$
Шаг 2. Подставляем заданные значения, включая площадь с дробным множителем:
$$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{2401}\cdot10^{22}}$$
Деление на дробный множитель 1/2401 заменяем умножением на 2401. Степени десятки пока считаем отдельно:
$$T^4=\frac{5{,}7\cdot2401}{5{,}7}\cdot10^{26-(-8+22)}$$
$$5{,}7\cdot2401=13685{,}7$$
$$\frac{13685{,}7}{5{,}7}=2401$$
$$-8+22=14$$
$$26-(14)=12$$
$$T^4=2401\cdot10^{12}$$
Шаг 3. Выделяем полную четвёртую степень. Удобно представить десятку в степени 12, потому что 12=4·3:
$$10^{12}=10^{0}\cdot10^{12}$$
$$2401\cdot10^{0}=2401$$
$$T^4=2401\cdot10^{12}$$
Проверяем, какое число даёт коэффициент в четвёртой степени. Сначала квадрат, затем квадрат результата:
$$7^2=7\cdot7=49$$
$$(49)^2=2401$$
$$10^{12}=(10^3)^4=1000^4$$
Произведение четвёртых степеней — четвёртая степень произведения:
$$T^4=7^4\cdot1000^4=(7\cdot1000)^4$$
Температура в кельвинах положительна. Поэтому выбираем положительный четвёртый корень:
$$T=7\cdot1000=7000$$
Ответ: $7000$ К.