При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $p{V}^{k} =6,4\cdot {10}^{6} \text{Па}\cdot {\text{м}}^{5},$ где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём
газа (в м^{3}), $k=\frac{5}{3}$. Найдите, какой объём V (в м^{3}) будет занимать газ
при давлении $p$, равном $2\cdot {10}^{5} \text{Па}.$
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Используем закон из условия. Нужно найти положительный объём V. Давление и показатель степени известны:
$$pV^{5/3}=6{,}4\cdot10^6$$
Шаг 2. Подставляем давление и делим обе части на него:
$$2\cdot10^5 V^{5/3}=6{,}4\cdot10^6$$
$$V^{5/3}=\frac{6{,}4\cdot10^6}{2\cdot10^5}$$
Делим коэффициенты и вычитаем показатели степеней с одинаковым основанием:
$$6{,}4:2=3{,}2$$
$$10^6:10^5=10^{6-5}=10$$
$$V^{5/3}=3{,}2\cdot10=32$$
Шаг 3. Чтобы убрать показатель 5/3, возводим обе положительные части в обратную степень 3/5. При степени степени показатели перемножаются:
$$(V^{5/3})^{3/5}=32^{3/5}$$
$$V^{(5/3)\cdot(3/5)}=V^1=V$$
Представим 32 степенью числа 2:
$$32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$
$$V=(2^5)^{3/5}=2^{5\cdot(3/5)}=2^3=8$$
Шаг 4. Проверяем:
$$8^{5/3}=(2^3)^{5/3}=2^5=32$$
$$2\cdot10^5\cdot32=64\cdot10^5=6{,}4\cdot10^6$$
Правая часть исходного закона восстановлена, объём положителен.
Ответ: $8$ м³.