Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${v}_{0}=70 \text{км/ч},$ выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=16 {\text{км/ч}}^{2}.$ Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S={v}_{0}t+\frac{a{t}^{2}}{2},$ где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.
Ответ: $90$.
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 123.
В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$
Вместо левой части записываем требуемую величину 123, вместо начальной скорости — 70, вместо ускорения — 16. Неизвестным остаётся только время t:
$$123=70t+\frac{16t^2}{2}$$
Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2.
$$\frac{16}{2}=8$$
После этой операции формула имеет вид:
$$8 t^{2} + 70 t=123$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 123 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$8 t^{2} + 70 t - 123=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=8,\qquad B=70,\qquad C=-123$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(70)^2=4900$$
$$4AC=4\cdot(8)\cdot(-123)=-3936$$
$$D=B^2-4AC=4900-(-3936)=8836$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{8836}=94$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(70)+94}{2\cdot(8)}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(70)-94}{2\cdot(8)}=\frac{-164}{16}=- \frac{41}{4}$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Корень $- \frac{41}{4}$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем.
Корень $\frac{3}{2}$ положителен и подходит.
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$S(\frac{3}{2})=8 \left(\frac{3}{2}\right)^{2} + 70 \left(\frac{3}{2}\right)$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$8 \cdot \frac{9}{4}=18$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$70 \cdot \frac{3}{2}=105$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$18 + 105=123$$
Получили 123, как требовалось в условии.
Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:
$$1{,}5\cdot60=90$$
Ответ: $90$ мин.