Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${v}_{0}=60 \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=32 {\text{км/ч}}^{2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S={v}_{0}t+\frac{a{t}^{2}}{2}$, где $t$ — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.
Ответ: $105$ минут
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Расстояние от города обозначено буквой $S$ и измеряется в километрах. Нужно найти момент, когда $S=154$ км.
В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$
Вместо левой части записываем требуемую величину 154, вместо начальной скорости — 60, вместо ускорения — 32. Неизвестным остаётся только время t:
$$154=60t+\frac{32t^2}{2}$$
Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2.
$$\frac{32}{2}=16$$
После этой операции формула имеет вид:
$$16 t^{2} + 60 t=154$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 154 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$16 t^{2} + 60 t - 154=0$$
Делим все члены на общий ненулевой множитель 2:
$$8 t^{2} + 30 t - 77=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=8,\qquad B=30,\qquad C=-77$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(30)^2=900$$
$$4AC=4\cdot(8)\cdot(-77)=-2464$$
$$D=B^2-4AC=900-(-2464)=3364$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{3364}=58$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)+58}{2\cdot(8)}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)-58}{2\cdot(8)}=\frac{-88}{16}=- \frac{11}{2}$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Корень $- \frac{11}{2}$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем.
Корень $\frac{7}{4}$ положителен и подходит.
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$S(\frac{7}{4})=16 \left(\frac{7}{4}\right)^{2} + 60 \left(\frac{7}{4}\right)$$
Возводим число в степень с показателем 2. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7^2}{4^2}=\frac{7\cdot7}{4\cdot4}=\frac{49}{16}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$16 \cdot \frac{49}{16}=49$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$60 \cdot \frac{7}{4}=105$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$49 + 105=154$$
Получили 154, как требовалось в условии.
Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:
$$\frac74\cdot60=\frac{7\cdot60}{4}=7\cdot15=105.$$
Ответ: $105$ мин.