В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H(t)=a {t}^{2} +b t+{H}_{0}$, где $H$ $—$ высота столба воды в метрах, ${H}_{0} =8 \text{м}$ $—$ начальный уровень воды, $a=\frac{1}{72} \text{м} / {\text{мин}}^{2}$
и $b=- \frac{2}{3} \text{м} / \text{мин}$ $—$ постоянные, $t$ $—$ время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?
Ответ: 24
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти время до полного опустошения бака. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 0.
В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$H(t)=at^2+bt+H_0$$
Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции:
$$0=8+(- \frac{2}{3})t+(\frac{1}{72})t^2$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 0 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$\frac{t^{2}}{72} - \frac{2 t}{3} + 8=0$$
Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 72:
$$t^{2} - 48 t + 576=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=-48,\qquad C=576$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-48)^2=2304$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(576)=2304$$
$$D=B^2-4AC=2304-(2304)=0$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{0}=0$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-48)+0}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-48)-0}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Полное опустошение означает нулевой уровень воды. Полученный единственный момент неотрицателен. До него высота положительна; после опустошения формула движения уровня уже не описывает продолжающееся вытекание.
$$t=24$$
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$H(24)=\frac{\left(24\right)^{2}}{72} - \frac{2 \left(24\right)}{3} + 8$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(- \frac{2}{3}\right) 24=-16$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$24^{2}=576$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\frac{1}{72} \cdot 576=8$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$-16 + 8 + 8=0$$
Получили 0, как требовалось в условии.
Ответ: $24$ мин.