Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1,6+13 t-5 {t}^{2}$, где $h$ $—$ высота в метрах, $t$ $—$ время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться
на высоте не менее 6 метров?
Ответ: $1{,}8$.
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти продолжительность нахождения мяча не ниже заданной высоты. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 6.
В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$h(t)=h_0+v_0t-5t^2$$
Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции:
$$6=1{,}6+(13)t+(-5)t^2$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 6 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$- 5 t^{2} + 13 t - \frac{22}{5}=0$$
Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 5:
$$- 25 t^{2} + 65 t - 22=0$$
Делим все члены на общий ненулевой множитель -1:
$$25 t^{2} - 65 t + 22=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=25,\qquad B=-65,\qquad C=22$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(-65)^2=4225$$
$$4AC=4\cdot(25)\cdot(22)=2200$$
$$D=B^2-4AC=4225-(2200)=2025$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{2025}=45$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-65)+45}{2\cdot(25)}=\frac{110}{50}=\frac{11}{5}$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-65)-45}{2\cdot(25)}=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
По условию нужна высота не менее заданной, то есть равенство тоже разрешено. Запишем неравенство:
$$- 5 t^{2} + 13 t + \frac{8}{5}\ge 6$$
После переноса и умножения на −1 знак неравенства меняется. Получается квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, который должен быть неположительным:
$$25 t^{2} - 65 t + 22\le0$$
Этот трёхчлен равен нулю в найденных корнях. Между корнями его множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательное; снаружи — одинаковые знаки, поэтому положительное.
$$0{,}4\le t\le 2{,}2$$
Но спрашивается длительность, а не один момент. Вычитаем начало промежутка из конца:
$$\Delta t=2{,}2-0{,}4=1{,}8$$
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$h(\frac{2}{5})=- 5 \left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 13 \left(\frac{2}{5}\right) + \frac{8}{5}$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$\left(-5\right) \frac{4}{25}=- \frac{4}{5}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$13 \cdot \frac{2}{5}=\frac{26}{5}$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} + \frac{26}{5}=6$$
Получили 6, как требовалось в условии.
Ответ: $1{,}8$ с.