Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi =ωt+\frac{\beta {t}^{2}}{2}$,
где $t$ $—$ время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $ω=15 \text{град}. / \text{мин}$ $—$ начальная угловая скорость вращения катушки,
а $\beta =6 \text{град}. / {\text{мин}}^{2}$ $—$ угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^{\circ}$. Ответ дайте в минутах.
Ответ: $25$.
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти время работы лебёдки. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 2250.
В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2}$$
Вместо левой части записываем требуемую величину 2250, вместо начальной скорости — 15, вместо ускорения — 6. Неизвестным остаётся только время t:
$$2250=15t+\frac{6t^2}{2}$$
Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2.
$$\frac{6}{2}=3$$
После этой операции формула имеет вид:
$$3 t^{2} + 15 t=2250$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 2250 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$3 t^{2} + 15 t - 2250=0$$
Делим все члены на общий ненулевой множитель 3:
$$t^{2} + 5 t - 750=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=1,\qquad B=5,\qquad C=-750$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(5)^2=25$$
$$4AC=4\cdot(1)\cdot(-750)=-3000$$
$$D=B^2-4AC=25-(-3000)=3025$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{3025}=55$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)+55}{2\cdot(1)}=\frac{50}{2}=25$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(5)-55}{2\cdot(1)}=\frac{-60}{2}=-30$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Корень $-30$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем.
Корень $25$ положителен и подходит.
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$\varphi(25)=3 \left(25\right)^{2} + 15 \left(25\right)$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$25^{2}=625$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$3 \cdot 625=1875$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$15 \cdot 25=375$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$375 + 1875=2250$$
Получили 2250, как требовалось в условии.
Ответ: $25$ мин.