Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана$–$Больцмана, согласно которому $P=σ S {T}^{4}$, где $P$ $—$ мощность излучения звезды (в Вт), $σ=5,7\cdot {10}^{- 8} \frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^{2}\cdot {\text{К}}^{4}}$ $—$ постоянная, $S$ $—$ площадь поверхности звезды (в ${\text{м}}^{2}$ ), а $T$ $—$ температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{256}\cdot {10}^{21} {\text{м}}^{2}$, а мощность её излучения равна $9,12\cdot {10}^{26} \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
Ответ: $8000$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное и выражаем его степень.
Нужно найти положительную температуру T. Закон Стефана—Больцмана связывает её с мощностью и площадью:
$$P=\sigma S T^4$$
Чтобы оставить степень температуры одну, делим обе части на положительное произведение σS:
$$T^4=\frac{P}{\sigma S}$$
Шаг 2. Подставляем заданные значения, включая площадь с дробным множителем:
$$T^4=\frac{9{,}12\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{256}\cdot10^{21}}$$
Деление на дробный множитель 1/256 заменяем умножением на 256. Степени десятки пока считаем отдельно:
$$T^4=\frac{9{,}12\cdot256}{5{,}7}\cdot10^{26-(-8+21)}$$
$$9{,}12\cdot256=2334{,}72$$
$$\frac{2334{,}72}{5{,}7}=409{,}6$$
$$-8+21=13$$
$$26-(13)=13$$
$$T^4=409{,}6\cdot10^{13}$$
Шаг 3. Выделяем полную четвёртую степень. Удобно представить десятку в степени 12, потому что 12=4·3:
$$10^{13}=10^{1}\cdot10^{12}$$
$$409{,}6\cdot10^{1}=4096$$
$$T^4=4096\cdot10^{12}$$
Проверяем, какое число даёт коэффициент в четвёртой степени. Сначала квадрат, затем квадрат результата:
$$8^2=8\cdot8=64$$
$$(64)^2=4096$$
$$10^{12}=(10^3)^4=1000^4$$
Произведение четвёртых степеней — четвёртая степень произведения:
$$T^4=8^4\cdot1000^4=(8\cdot1000)^4$$
Температура в кельвинах положительна. Поэтому выбираем положительный четвёртый корень:
$$T=8\cdot1000=8000$$
Ответ: $8000$ К.