Задание №9 ЕГЭ по математике: Задачи с прикладным содержанием

Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать. Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное. $$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$ Давление положительно; поэтому аргумент логарифма $p_2/p_1$ должен быть положительным. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле. Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 27840, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 8, температуры — 300: $$27840=5{,}8\cdot 8\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{20}$$ Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом: $$5{,}8\cdot8=46{,}4$$ $$46{,}4\cdot300=13920$$ Уравнение стало короче: $$27840=13920\log_2 \frac{p_2}{20}$$ Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 13920: $$\log_2 \frac{p_2}{20}=\frac{27840}{13920}=2$$ Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает: $$\frac{p_2}{20}=2^{2}$$ Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ Шаг 4. Находим неизвестную величину. Умножаем обе части на начальное давление 20: $$p_2=20\cdot4=80$$ Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл. $$\frac{80}{20}=4$$ $$\log_2 4=2$$ $$A=13920\cdot2=27840$$ Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен. Ответ: $80$ атм.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Расстояние от города обозначено буквой $S$ и измеряется в километрах. Нужно найти момент, когда $S=154$ км. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 154, вместо начальной скорости — 60, вместо ускорения — 32. Неизвестным остаётся только время t: $$154=60t+\frac{32t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{32}{2}=16$$ После этой операции формула имеет вид: $$16 t^{2} + 60 t=154$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 154 из обеих частей. Получаем уравнение: $$16 t^{2} + 60 t - 154=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 2: $$8 t^{2} + 30 t - 77=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=8,\qquad B=30,\qquad C=-77$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(30)^2=900$$ $$4AC=4\cdot(8)\cdot(-77)=-2464$$ $$D=B^2-4AC=900-(-2464)=3364$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{3364}=58$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)+58}{2\cdot(8)}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(30)-58}{2\cdot(8)}=\frac{-88}{16}=- \frac{11}{2}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $- \frac{11}{2}$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{7}{4}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{7}{4})=16 \left(\frac{7}{4}\right)^{2} + 60 \left(\frac{7}{4}\right)$$ Возводим число в степень с показателем 2. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7^2}{4^2}=\frac{7\cdot7}{4\cdot4}=\frac{49}{16}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$16 \cdot \frac{49}{16}=49$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$60 \cdot \frac{7}{4}=105$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$49 + 105=154$$ Получили 154, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$\frac74\cdot60=\frac{7\cdot60}{4}=7\cdot15=105.$$ Ответ: $105$ мин.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время до полного опустошения бака. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 0. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$H(t)=at^2+bt+H_0$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$0=8+(- \frac{2}{3})t+(\frac{1}{72})t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 0 из обеих частей. Получаем уравнение: $$\frac{t^{2}}{72} - \frac{2 t}{3} + 8=0$$ Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 72: $$t^{2} - 48 t + 576=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=1,\qquad B=-48,\qquad C=576$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-48)^2=2304$$ $$4AC=4\cdot(1)\cdot(576)=2304$$ $$D=B^2-4AC=2304-(2304)=0$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{0}=0$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-48)+0}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-48)-0}{2\cdot(1)}=\frac{48}{2}=24$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Полное опустошение означает нулевой уровень воды. Полученный единственный момент неотрицателен. До него высота положительна; после опустошения формула движения уровня уже не описывает продолжающееся вытекание. $$t=24$$ Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$H(24)=\frac{\left(24\right)^{2}}{72} - \frac{2 \left(24\right)}{3} + 8$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(- \frac{2}{3}\right) 24=-16$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$24^{2}=576$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\frac{1}{72} \cdot 576=8$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$-16 + 8 + 8=0$$ Получили 0, как требовалось в условии. Ответ: $24$ мин.

Шаг 1. Определяем, какой угол нужен. В формуле используется половина угла — α, а в ответе нужен полный угол 2α. Сначала найдём α по заданной энергии. $$Q=mv^2\sin^2\alpha$$ Шаг 2. Подставляем данные: $$243=6\cdot9^2\sin^2\alpha$$ Сначала вычисляем квадрат скорости, затем умножаем на массу: $$9^2=9\cdot9=81$$ $$6\cdot81=486$$ $$243=486\sin^2\alpha$$ Делим обе части на 486: $$\sin^2\alpha=\frac{243}{486}=\frac{1}{2}$$ Шаг 3. Учитываем смысл угла. Угол между направлениями находится от 0° до 180°, поэтому его половина α лежит от 0° до 90°. Синус на этом промежутке неотрицателен. Извлекаем неотрицательный квадратный корень: $$\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ По табличному значению синуса на промежутке от 0° до 90°: $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\alpha=45^\circ$$ Шаг 4. Возвращаемся к полному углу: $$2\alpha=2\cdot45=90^\circ$$ Проверяем энергию по квадрату найденного синуса: $$Q=486\cdot\frac{1}{2}=243$$ Ответ: $90$ градусов.

Шаг 1. Переводим условие работы сети в неравенство. Отключение происходит, если ток превышает 5 А. Следовательно, ток ровно 5 А ещё допустим. Требование к работающей сети: $$I\le5$$ Здесь $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление в омах, $I$ — сила тока в амперах. Нужно найти наименьшее сопротивление $R$. По закону Ома сила тока выражается через сопротивление: $$I=\frac U R$$ Шаг 2. Подставляем напряжение 220 В и ограничение тока: $$\frac{220}{R}\le5$$ Сопротивление положительно: R>0. Поэтому умножение обеих частей на R сохраняет знак неравенства: $$220\le5R$$ Шаг 3. Делим обе части на положительное число 5: $$\frac{220}{5}\le R$$ $$44\le R$$ То есть разрешены все сопротивления от 44 Ом и больше: $$R\ge44$$ Наименьшее из них — 44 Ом. Равенство включено, поэтому это значение можно взять. Шаг 4. Проверяем ток при найденном сопротивлении: $$I=\frac{220}{44}=5$$ Ток равен 5 А и не превышает допустимую границу. Сеть продолжает работать. Ответ: $44$ Ом.

Шаг 1. Выбираем неизвестное. Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен. $$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$ $$c>14$$ Шаг 2. Подставляем частоты и скорости: $$150=140\frac{c+15}{c-14}$$ Умножаем обе части на положительное выражение c−14, чтобы убрать знаменатель: $$150(c-14)=140(c+15)$$ Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое. $$150c-150\cdot14=140c+140\cdot15$$ $$150\cdot14=2100$$ $$140\cdot15=2100$$ $$150c-2100=140c+2100$$ Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется: $$(150-140)c=2100+2100$$ $$10c=4200$$ Делим обе части на коэффициент при c: $$c=\frac{4200}{10}=420$$ Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту. $$c=420>14$$ $$c+u=420+15=435$$ $$c-v=420-14=406$$ $$f=140\cdot\frac{435}{406}=150$$ Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен. Ответ: $420$ м/с.

Шаг 1. Разбираемся, что искать. Ищем путь l в километрах. Используем данную в условии формулу. Чтобы убрать квадратный корень, возведём обе части уравнения в квадрат. $$v=\sqrt{2la}$$ Все величины неотрицательны, поэтому такое возведение не меняет множество подходящих решений. Единицы уже согласованы. Шаг 2. Подставляем известные числа: $$50=\sqrt{2\cdot2500\cdot l}$$ Возводим в квадрат левую и правую части. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное выражение: $$(50)^2=2\cdot2500\cdot l$$ Считаем квадрат известной величины и коэффициент перед неизвестным отдельно: $$50^2=50\cdot50=2500$$ $$2\cdot2500=5000$$ Шаг 3. Получаем линейное уравнение: $$2500=5000l$$ Делим обе части на коэффициент 5000: $$l=\frac{2500}{5000}=0{,}5$$ Шаг 4. Проверяем в исходной формуле: $$2\cdot2500\cdot0{,}5=2500$$ $$\sqrt{2500}=50$$ Получили исходную скорость. Найденная величина положительна и выражена в нужных единицах. Ответ: $0{,}5$ км.

Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать. Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное. $$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле. Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 31320, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 6, температуры — 300: $$31320=5{,}8\cdot 6\cdot300\cdot\log_2 \frac{56}{V_2}$$ Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом: $$5{,}8\cdot6=34{,}8$$ $$34{,}8\cdot300=10440$$ Уравнение стало короче: $$31320=10440\log_2 \frac{56}{V_2}$$ Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 10440: $$\log_2 \frac{56}{V_2}=\frac{31320}{10440}=3$$ Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает: $$\frac{56}{V_2}=2^{3}$$ Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем: $$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$ Шаг 4. Находим неизвестную величину. Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя: $$56=8V_2$$ Делим обе части на 8: $$V_2=\frac{56}{8}=7$$ Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл. $$\frac{56}{7}=8$$ $$\log_2 8=3$$ $$A=10440\cdot3=31320$$ Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен. Ответ: $7$ л.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 72. В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$ Вместо левой части записываем требуемую величину 72, вместо начальной скорости — 90, вместо ускорения — 16. Неизвестным остаётся только время t: $$72=90t+\frac{16t^2}{2}$$ Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2. $$\frac{16}{2}=8$$ После этой операции формула имеет вид: $$8 t^{2} + 90 t=72$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 72 из обеих частей. Получаем уравнение: $$8 t^{2} + 90 t - 72=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель 2: $$4 t^{2} + 45 t - 36=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=4,\qquad B=45,\qquad C=-36$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(45)^2=2025$$ $$4AC=4\cdot(4)\cdot(-36)=-576$$ $$D=B^2-4AC=2025-(-576)=2601$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2601}=51$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(45)+51}{2\cdot(4)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(45)-51}{2\cdot(4)}=\frac{-96}{8}=-12$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. Корень $-12$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем. Корень $\frac{3}{4}$ положителен и подходит. Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$S(\frac{3}{4})=8 \left(\frac{3}{4}\right)^{2} + 90 \left(\frac{3}{4}\right)$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$8 \cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{2}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$90 \cdot \frac{3}{4}=\frac{135}{2}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$\frac{9}{2} + \frac{135}{2}=72$$ Получили 72, как требовалось в условии. Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому: $$0{,}75\cdot60=45$$ Ответ: $45$ мин.

Шаг 1. Обозначаем сопротивление подключаемого прибора через r, в омах. Оно положительно. Нужно, чтобы общее сопротивление двух приборов было не меньше 18 Ом. Поэтому используем данную формулу параллельного соединения и составляем неравенство: $$R=\frac{R_1r}{R_1+r}$$ $$\frac{21r}{21+r}\ge18$$ Шаг 2. Убираем знаменатель. Он положителен, так как 21+r>0, поэтому знак неравенства не меняется: $$21r\ge18(21+r)$$ Умножаем число за скобками на каждое слагаемое: $$21r\ge18\cdot21+18r$$ $$18\cdot21=378$$ $$21r\ge378+18r$$ Вычитаем 18r из обеих частей: $$(21-18)r\ge378$$ $$3r\ge378$$ Делим обе части на положительный коэффициент 3: $$r\ge\frac{378}{3}=126$$ Шаг 3. Выбираем наименьшее значение и проверяем. Все большие сопротивления тоже подходят, но вопрос просит самое маленькое. Это граничное значение 126 Ом. $$R=\frac{21\cdot126}{21+126}=\frac{2646}{147}=18$$ Общее сопротивление равно допустимой нижней границе. Слова «не меньше» разрешают равенство. Ответ: $126$ Ом.

Шаг 1. Объясняем выбор способа. Нужно сделать расстояние d₁ до лампочки как можно меньше, сохранив чёткое изображение. Для этого выразим d₁ через расстояние d₂ до экрана и посмотрим, как оно меняется. $$\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{36}$$ Шаг 2. Вычитаем 1/d₂ из обеих частей и приводим правую часть к общему знаменателю: $$\frac1{d_1}=\frac1{36}-\frac1{d_2}$$ $$\frac1{d_1}=\frac{d_2}{36d_2}-\frac{36}{36d_2}=\frac{d_2-36}{36d_2}$$ Расстояния положительны, а экран находится дальше фокуса. Можно обратить обе равные ненулевые дроби: $$d_1=\frac{36d_2}{d_2-36}$$ Шаг 3. Выделяем в этой дроби постоянную часть. Для этого перепишем числитель: $$36d_2=36[(d_2-36)+36]$$ $$36d_2=36(d_2-36)+1296$$ Делим каждое слагаемое числителя на один и тот же знаменатель: $$d_1=36+\frac{1296}{d_2-36}$$ Экран может находиться на расстоянии от 160 до 180 см. На всём этом промежутке знаменатель положителен. При увеличении d₂ он увеличивается, положительная дробь уменьшается, а значит, уменьшается и d₁. Поэтому берём наибольшее допустимое расстояние до экрана: $$d_2=180$$ Шаг 4. Считаем расстояние до лампочки: $$d_1=\frac{36\cdot180}{180-36}$$ $$36\cdot180=6480$$ $$180-36=144$$ $$d_1=\frac{6480}{144}=45$$ Шаг 5. Проверяем разрешённый диапазон лампочки: $$30\le45\le50$$ Значение находится в указанном диапазоне, поэтому его можно использовать. Проверка чёткости: $$\frac1{45}+\frac1{180}=\frac{4}{180}+\frac1{180}$$ $$\frac{4+1}{180}=\frac{5}{180}=\frac1{36}$$ Ответ: $45$ см.

Шаг 1. Переводим различимость гудков в ограничение частоты. У приближающегося тепловоза частота выше исходной. Она должна превышать первую хотя бы на 8 Гц. Поэтому: $$f\ge192+8=200$$ Нужно найти минимальную скорость v. В данной модели 0≤v<300, поэтому знаменатель формулы положителен. Шаг 2. Подставляем формулу частоты в неравенство: $$\frac{192}{1-v/300}\ge200$$ Умножаем обе части на положительный знаменатель, сохраняя знак: $$192\ge200(1-v/300)$$ Раскрываем скобки: $$192\ge200-\frac{200v}{300}$$ Прибавляем дробь с v к обеим частям и вычитаем исходную частоту: $$\frac{200v}{300}\ge200-192=8$$ Умножаем на 300, затем делим на положительное число 200: $$200v\ge8\cdot300=2400$$ $$v\ge\frac{2400}{200}=12$$ Шаг 3. Проверяем граничную скорость. $$1-\frac{12}{300}=\frac{24}{25}$$ $$f=\frac{192}{\frac{24}{25}}=200$$ $$f-f_0=200-192=8$$ Разница частот ровно требуемая, поэтому граница допустима и является наименьшей скоростью. Ответ: $12$ м/с.

Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать. Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное. $$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$ Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле. Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 10440, вместо коэффициента α — 8,7, количества вещества — 2, температуры — 300: $$10440=8{,}7\cdot 2\cdot300\cdot\log_2 \frac{120}{V_2}$$ Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом: $$8{,}7\cdot2=17{,}4$$ $$17{,}4\cdot300=5220$$ Уравнение стало короче: $$10440=5220\log_2 \frac{120}{V_2}$$ Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 5220: $$\log_2 \frac{120}{V_2}=\frac{10440}{5220}=2$$ Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает: $$\frac{120}{V_2}=2^{2}$$ Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ Шаг 4. Находим неизвестную величину. Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя: $$120=4V_2$$ Делим обе части на 4: $$V_2=\frac{120}{4}=30$$ Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл. $$\frac{120}{30}=4$$ $$\log_2 4=2$$ $$A=5220\cdot2=10440$$ Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен. Ответ: $30$ л.

Шаг 1. Разбираемся, что искать. Ищем путь l в километрах. Используем данную в условии формулу. Чтобы убрать квадратный корень, возведём обе части уравнения в квадрат. $$v=\sqrt{2la}$$ Все величины неотрицательны, поэтому такое возведение не меняет множество подходящих решений. Единицы уже согласованы. Шаг 2. Подставляем известные числа: $$70=\sqrt{2\cdot3500\cdot l}$$ Возводим в квадрат левую и правую части. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное выражение: $$(70)^2=2\cdot3500\cdot l$$ Считаем квадрат известной величины и коэффициент перед неизвестным отдельно: $$70^2=70\cdot70=4900$$ $$2\cdot3500=7000$$ Шаг 3. Получаем линейное уравнение: $$4900=7000l$$ Делим обе части на коэффициент 7000: $$l=\frac{4900}{7000}=0{,}7$$ Шаг 4. Проверяем в исходной формуле: $$2\cdot3500\cdot0{,}7=4900$$ $$\sqrt{4900}=70$$ Получили исходную скорость. Найденная величина положительна и выражена в нужных единицах. Ответ: $0{,}7$ км.

Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие. Нужно найти продолжительность нахождения мяча не ниже заданной высоты. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 6. В задаче единица времени уже та, которая нужна в ответе. Шаг 2. Подставляем данные в формулу. Исходная зависимость величины от времени: $$h(t)=h_0+v_0t-5t^2$$ Числовые коэффициенты уже заданы в условии. Подставляем требуемую высоту или температуру вместо значения функции: $$6=1{,}6+(13)t+(-5)t^2$$ Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней. Переносим правую часть влево: вычитаем 6 из обеих частей. Получаем уравнение: $$- 5 t^{2} + 13 t - \frac{22}{5}=0$$ Чтобы убрать дробные коэффициенты, умножаем каждый член и правую часть на 5: $$- 25 t^{2} + 65 t - 22=0$$ Делим все члены на общий ненулевой множитель -1: $$25 t^{2} - 65 t + 22=0$$ Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь: $$A=25,\qquad B=-65,\qquad C=22$$ Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно: $$B^2=(-65)^2=4225$$ $$4AC=4\cdot(25)\cdot(22)=2200$$ $$D=B^2-4AC=4225-(2200)=2025$$ Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен: $$\sqrt D=\sqrt{2025}=45$$ Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления: $$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(-65)+45}{2\cdot(25)}=\frac{110}{50}=\frac{11}{5}$$ $$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(-65)-45}{2\cdot(25)}=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$$ Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел. Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным. По условию нужна высота не менее заданной, то есть равенство тоже разрешено. Запишем неравенство: $$- 5 t^{2} + 13 t + \frac{8}{5}\ge 6$$ После переноса и умножения на −1 знак неравенства меняется. Получается квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, который должен быть неположительным: $$25 t^{2} - 65 t + 22\le0$$ Этот трёхчлен равен нулю в найденных корнях. Между корнями его множители имеют разные знаки, поэтому произведение отрицательное; снаружи — одинаковые знаки, поэтому положительное. $$0{,}4\le t\le 2{,}2$$ Но спрашивается длительность, а не один момент. Вычитаем начало промежутка из конца: $$\Delta t=2{,}2-0{,}4=1{,}8$$ Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. $$h(\frac{2}{5})=- 5 \left(\frac{2}{5}\right)^{2} + 13 \left(\frac{2}{5}\right) + \frac{8}{5}$$ Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей. $$\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$\left(-5\right) \frac{4}{25}=- \frac{4}{5}$$ Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя. $$13 \cdot \frac{2}{5}=\frac{26}{5}$$ Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков. $$- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} + \frac{26}{5}=6$$ Получили 6, как требовалось в условии. Ответ: $1{,}8$ с.

Шаг 1. Объясняем выбор способа. Нужно сделать расстояние d₁ до лампочки как можно меньше, сохранив чёткое изображение. Для этого выразим d₁ через расстояние d₂ до экрана и посмотрим, как оно меняется. $$\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{30}$$ Шаг 2. Вычитаем 1/d₂ из обеих частей и приводим правую часть к общему знаменателю: $$\frac1{d_1}=\frac1{30}-\frac1{d_2}$$ $$\frac1{d_1}=\frac{d_2}{30d_2}-\frac{30}{30d_2}=\frac{d_2-30}{30d_2}$$ Расстояния положительны, а экран находится дальше фокуса. Можно обратить обе равные ненулевые дроби: $$d_1=\frac{30d_2}{d_2-30}$$ Шаг 3. Выделяем в этой дроби постоянную часть. Для этого перепишем числитель: $$30d_2=30[(d_2-30)+30]$$ $$30d_2=30(d_2-30)+900$$ Делим каждое слагаемое числителя на один и тот же знаменатель: $$d_1=30+\frac{900}{d_2-30}$$ Экран может находиться на расстоянии от 160 до 180 см. На всём этом промежутке знаменатель положителен. При увеличении d₂ он увеличивается, положительная дробь уменьшается, а значит, уменьшается и d₁. Поэтому берём наибольшее допустимое расстояние до экрана: $$d_2=180$$ Шаг 4. Считаем расстояние до лампочки: $$d_1=\frac{30\cdot180}{180-30}$$ $$30\cdot180=5400$$ $$180-30=150$$ $$d_1=\frac{5400}{150}=36$$ Шаг 5. Проверяем разрешённый диапазон лампочки: $$20\le36\le40$$ Значение находится в указанном диапазоне, поэтому его можно использовать. Проверка чёткости: $$\frac1{36}+\frac1{180}=\frac{5}{180}+\frac1{180}$$ $$\frac{5+1}{180}=\frac{6}{180}=\frac1{30}$$ Ответ: $36$ см.

Шаг 1. Переводим различимость гудков в ограничение частоты. У приближающегося тепловоза частота выше исходной. Она должна превышать первую хотя бы на 5 Гц. Поэтому: $$f\ge295+5=300$$ Нужно найти минимальную скорость v. В данной модели 0≤v<300, поэтому знаменатель формулы положителен. Шаг 2. Подставляем формулу частоты в неравенство: $$\frac{295}{1-v/300}\ge300$$ Умножаем обе части на положительный знаменатель, сохраняя знак: $$295\ge300(1-v/300)$$ Раскрываем скобки: $$295\ge300-\frac{300v}{300}$$ Прибавляем дробь с v к обеим частям и вычитаем исходную частоту: $$\frac{300v}{300}\ge300-295=5$$ Умножаем на 300, затем делим на положительное число 300: $$300v\ge5\cdot300=1500$$ $$v\ge\frac{1500}{300}=5$$ Шаг 3. Проверяем граничную скорость. $$1-\frac{5}{300}=\frac{59}{60}$$ $$f=\frac{295}{\frac{59}{60}}=300$$ $$f-f_0=300-295=5$$ Разница частот ровно требуемая, поэтому граница допустима и является наименьшей скоростью. Ответ: $5$ м/с.

Шаг 1. Выбираем неизвестное и выражаем его степень. Нужно найти положительную температуру T. Закон Стефана—Больцмана связывает её с мощностью и площадью: $$P=\sigma S T^4$$ Чтобы оставить степень температуры одну, делим обе части на положительное произведение σS: $$T^4=\frac{P}{\sigma S}$$ Шаг 2. Подставляем заданные значения, включая площадь с дробным множителем: $$T^4=\frac{5{,}7\cdot10^{26}}{5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac1{2401}\cdot10^{22}}$$ Деление на дробный множитель 1/2401 заменяем умножением на 2401. Степени десятки пока считаем отдельно: $$T^4=\frac{5{,}7\cdot2401}{5{,}7}\cdot10^{26-(-8+22)}$$ $$5{,}7\cdot2401=13685{,}7$$ $$\frac{13685{,}7}{5{,}7}=2401$$ $$-8+22=14$$ $$26-(14)=12$$ $$T^4=2401\cdot10^{12}$$ Шаг 3. Выделяем полную четвёртую степень. Удобно представить десятку в степени 12, потому что 12=4·3: $$10^{12}=10^{0}\cdot10^{12}$$ $$2401\cdot10^{0}=2401$$ $$T^4=2401\cdot10^{12}$$ Проверяем, какое число даёт коэффициент в четвёртой степени. Сначала квадрат, затем квадрат результата: $$7^2=7\cdot7=49$$ $$(49)^2=2401$$ $$10^{12}=(10^3)^4=1000^4$$ Произведение четвёртых степеней — четвёртая степень произведения: $$T^4=7^4\cdot1000^4=(7\cdot1000)^4$$ Температура в кельвинах положительна. Поэтому выбираем положительный четвёртый корень: $$T=7\cdot1000=7000$$ Ответ: $7000$ К.

Шаг 1. Разбираемся, что искать. Ищем ускорение a в км/ч². Используем данную в условии формулу. Чтобы убрать квадратный корень, возведём обе части уравнения в квадрат. $$v=\sqrt{2la}$$ Все величины неотрицательны, поэтому такое возведение не меняет множество подходящих решений. Единицы уже согласованы. Шаг 2. Подставляем известные числа: $$70=\sqrt{2\cdot0{,}5\cdot a}$$ Возводим в квадрат левую и правую части. Квадрат квадратного корня возвращает подкоренное выражение: $$(70)^2=2\cdot0{,}5\cdot a$$ Считаем квадрат известной величины и коэффициент перед неизвестным отдельно: $$70^2=70\cdot70=4900$$ $$2\cdot0{,}5=1$$ Шаг 3. Получаем линейное уравнение: $$4900=1a$$ Делим обе части на коэффициент 1: $$a=\frac{4900}{1}=4900$$ Шаг 4. Проверяем в исходной формуле: $$2\cdot0{,}5\cdot4900=4900$$ $$\sqrt{4900}=70$$ Получили исходную скорость. Найденная величина положительна и выражена в нужных единицах. Ответ: $4900$ км/ч².

Шаг 1. Определяем неизвестное. Ищем сопротивление нагрузки R. Оно положительно. В формуле напряжения остальные величины известны, поэтому подставим их: $$U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$$ $$170=\frac{180R}{R+1}$$ Шаг 2. Умножаем обе части на положительный знаменатель: $$170(R+1)=180R$$ Раскрываем скобки и вычисляем произведение: $$170R+170\cdot1=180R$$ $$170R+170=180R$$ Вычитаем 170R из обеих частей: $$170=(180-170)R$$ $$170=10R$$ Делим на коэффициент при R: $$R=\frac{170}{10}=17$$ Шаг 3. Проверяем исходное напряжение: $$U=\frac{180\cdot17}{17+1}=\frac{3060}{18}=170$$ Сопротивление положительно, напряжение совпало с условием. Ответ: $17$ Ом.