Водолазный колокол, содержащий $υ=8$ моль воздуха при давлении
${p}_{1} =20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления ${p}_{2}$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$, где $\alpha =5,8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ $—$ постоянная, $T=300 K$ $—$ температура воздуха. Найдите давление ${p}_{2}$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.
Ответ: 80
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$
Давление положительно; поэтому аргумент логарифма $p_2/p_1$ должен быть положительным. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 27840, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 8, температуры — 300:
$$27840=5{,}8\cdot 8\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{20}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}8\cdot8=46{,}4$$
$$46{,}4\cdot300=13920$$
Уравнение стало короче:
$$27840=13920\log_2 \frac{p_2}{20}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 13920:
$$\log_2 \frac{p_2}{20}=\frac{27840}{13920}=2$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{p_2}{20}=2^{2}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{2}=2\cdot2=4$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на начальное давление 20:
$$p_2=20\cdot4=80$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{80}{20}=4$$
$$\log_2 4=2$$
$$A=13920\cdot2=27840$$
Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен.
Ответ: $80$ атм.