Водолазный колокол, содержащий $υ=3$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =16 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =9,9$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300 \text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $2$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 26730, вместо коэффициента α — 9,9, количества вещества — 3, температуры — 300:
$$26730=9{,}9\cdot 3\cdot300\cdot\log_2 \frac{16}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$9{,}9\cdot3=29{,}7$$
$$29{,}7\cdot300=8910$$
Уравнение стало короче:
$$26730=8910\log_2 \frac{16}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 8910:
$$\log_2 \frac{16}{V_2}=\frac{26730}{8910}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{16}{V_2}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$16=8V_2$$
Делим обе части на 8:
$$V_2=\frac{16}{8}=2$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{16}{2}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=8910\cdot3=26730$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $2$ л.