Водолазный колокол, содержащий $υ=7$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =64 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =5,8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300 \text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 36 540 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 36540, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 7, температуры — 300:
$$36540=5{,}8\cdot 7\cdot300\cdot\log_2 \frac{64}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}8\cdot7=40{,}6$$
$$40{,}6\cdot300=12180$$
Уравнение стало короче:
$$36540=12180\log_2 \frac{64}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 12180:
$$\log_2 \frac{64}{V_2}=\frac{36540}{12180}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{64}{V_2}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$64=8V_2$$
Делим обе части на 8:
$$V_2=\frac{64}{8}=8$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{64}{8}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=12180\cdot3=36540$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $8$ л.