Водолазный колокол, содержащий $υ=2$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =120 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =8,7 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300 \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $30$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 10440, вместо коэффициента α — 8,7, количества вещества — 2, температуры — 300:
$$10440=8{,}7\cdot 2\cdot300\cdot\log_2 \frac{120}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$8{,}7\cdot2=17{,}4$$
$$17{,}4\cdot300=5220$$
Уравнение стало короче:
$$10440=5220\log_2 \frac{120}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 5220:
$$\log_2 \frac{120}{V_2}=\frac{10440}{5220}=2$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{120}{V_2}=2^{2}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{2}=2\cdot2=4$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$120=4V_2$$
Делим обе части на 4:
$$V_2=\frac{120}{4}=30$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{120}{30}=4$$
$$\log_2 4=2$$
$$A=5220\cdot2=10440$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $30$ л.