Водолазный колокол, содержащий $υ=3$ моль воздуха при давлении
${p}_{1} =1,4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления ${p}_{2}$
(в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$, где $\alpha =10,9$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ $—$ постоянная, $T=300 K$ $—$ температура воздуха. Найдите давление ${p}_{2}$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
Ответ: $11{,}2$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 29430, вместо коэффициента α — 10,9, количества вещества — 3, температуры — 300:
$$29430=10{,}9\cdot 3\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{1{,}4}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$10{,}9\cdot3=32{,}7$$
$$32{,}7\cdot300=9810$$
Уравнение стало короче:
$$29430=9810\log_2 \frac{p_2}{1{,}4}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 9810:
$$\log_2 \frac{p_2}{1{,}4}=\frac{29430}{9810}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{p_2}{1{,}4}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на начальное давление 1,4:
$$p_2=1{,}4\cdot8=11{,}2$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{11{,}2}{1{,}4}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=9810\cdot3=29430$$
Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен.
Ответ: $11{,}2$ атм.