Водолазный колокол, содержащий $υ=6$ моль воздуха при давлении
${p}_{1} =2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления ${p}_{2}$
(в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$, где $\alpha =5,75$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ $—$ постоянная, $T=300 K$ $—$ температура воздуха. Найдите, какое давление ${p}_{2}$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
Ответ: $5$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 10350, вместо коэффициента α — 5,75, количества вещества — 6, температуры — 300:
$$10350=5{,}75\cdot 6\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{2{,}5}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}75\cdot6=34{,}5$$
$$34{,}5\cdot300=10350$$
Уравнение стало короче:
$$10350=10350\log_2 \frac{p_2}{2{,}5}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 10350:
$$\log_2 \frac{p_2}{2{,}5}=\frac{10350}{10350}=1$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{p_2}{2{,}5}=2^{1}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{1}=2=2$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на начальное давление 2,5:
$$p_2=2{,}5\cdot2=5$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{5}{2{,}5}=2$$
$$\log_2 2=1$$
$$A=10350\cdot1=10350$$
Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен.
Ответ: $5$ атм.