Водолазный колокол, содержащий $υ=8$ моль воздуха при давлении
${p}_{1} =20$ атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления ${p}_{2}$ (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$, где $\alpha =5,8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ $—$ постоянная, $T=300 K$ $—$ температура воздуха. Найдите давление ${p}_{2}$ воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 27 840 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.
Ответ: 80
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$
Давление положительно; поэтому аргумент логарифма $p_2/p_1$ должен быть положительным. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 27840, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 8, температуры — 300:
$$27840=5{,}8\cdot 8\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{20}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}8\cdot8=46{,}4$$
$$46{,}4\cdot300=13920$$
Уравнение стало короче:
$$27840=13920\log_2 \frac{p_2}{20}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 13920:
$$\log_2 \frac{p_2}{20}=\frac{27840}{13920}=2$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{p_2}{20}=2^{2}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{2}=2\cdot2=4$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на начальное давление 20:
$$p_2=20\cdot4=80$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{80}{20}=4$$
$$\log_2 4=2$$
$$A=13920\cdot2=27840$$
Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен.
Ответ: $80$ атм.
Водолазный колокол, содержащий $υ=6$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =56 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$, где $\alpha =5,8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300 \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 31 320 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: 7
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 31320, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 6, температуры — 300:
$$31320=5{,}8\cdot 6\cdot300\cdot\log_2 \frac{56}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}8\cdot6=34{,}8$$
$$34{,}8\cdot300=10440$$
Уравнение стало короче:
$$31320=10440\log_2 \frac{56}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 10440:
$$\log_2 \frac{56}{V_2}=\frac{31320}{10440}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{56}{V_2}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$56=8V_2$$
Делим обе части на 8:
$$V_2=\frac{56}{8}=7$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{56}{7}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=10440\cdot3=31320$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $7$ л.
Водолазный колокол, содержащий $υ=2$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =120 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =8,7 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300 \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 440 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $30$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 10440, вместо коэффициента α — 8,7, количества вещества — 2, температуры — 300:
$$10440=8{,}7\cdot 2\cdot300\cdot\log_2 \frac{120}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$8{,}7\cdot2=17{,}4$$
$$17{,}4\cdot300=5220$$
Уравнение стало короче:
$$10440=5220\log_2 \frac{120}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 5220:
$$\log_2 \frac{120}{V_2}=\frac{10440}{5220}=2$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{120}{V_2}=2^{2}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{2}=2\cdot2=4$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$120=4V_2$$
Делим обе части на 4:
$$V_2=\frac{120}{4}=30$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{120}{30}=4$$
$$\log_2 4=2$$
$$A=5220\cdot2=10440$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $30$ л.
Водолазный колокол, содержащий $υ=3$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =16 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =9,9$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300 \text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $2$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 26730, вместо коэффициента α — 9,9, количества вещества — 3, температуры — 300:
$$26730=9{,}9\cdot 3\cdot300\cdot\log_2 \frac{16}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$9{,}9\cdot3=29{,}7$$
$$29{,}7\cdot300=8910$$
Уравнение стало короче:
$$26730=8910\log_2 \frac{16}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 8910:
$$\log_2 \frac{16}{V_2}=\frac{26730}{8910}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{16}{V_2}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$16=8V_2$$
Делим обе части на 8:
$$V_2=\frac{16}{8}=2$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{16}{2}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=8910\cdot3=26730$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $2$ л.
Водолазный колокол, содержащий $υ=3$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =80 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =5,8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300 \text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $5$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 20880, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 3, температуры — 300:
$$20880=5{,}8\cdot 3\cdot300\cdot\log_2 \frac{80}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}8\cdot3=17{,}4$$
$$17{,}4\cdot300=5220$$
Уравнение стало короче:
$$20880=5220\log_2 \frac{80}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 5220:
$$\log_2 \frac{80}{V_2}=\frac{20880}{5220}=4$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{80}{V_2}=2^{4}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{4}=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$80=16V_2$$
Делим обе части на 16:
$$V_2=\frac{80}{16}=5$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{80}{5}=16$$
$$\log_2 16=4$$
$$A=5220\cdot4=20880$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $5$ л.
Водолазный колокол, содержащий $υ=3$ моль воздуха при давлении
${p}_{1} =1,4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления ${p}_{2}$
(в атмосферах). Работа A (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$, где $\alpha =10,9$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ $—$ постоянная, $T=300 K$ $—$ температура воздуха. Найдите давление ${p}_{2}$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
Ответ: $11{,}2$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 29430, вместо коэффициента α — 10,9, количества вещества — 3, температуры — 300:
$$29430=10{,}9\cdot 3\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{1{,}4}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$10{,}9\cdot3=32{,}7$$
$$32{,}7\cdot300=9810$$
Уравнение стало короче:
$$29430=9810\log_2 \frac{p_2}{1{,}4}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 9810:
$$\log_2 \frac{p_2}{1{,}4}=\frac{29430}{9810}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{p_2}{1{,}4}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на начальное давление 1,4:
$$p_2=1{,}4\cdot8=11{,}2$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{11{,}2}{1{,}4}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=9810\cdot3=29430$$
Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен.
Ответ: $11{,}2$ атм.
Водолазный колокол, содержащий $υ=6$ моль воздуха при давлении
${p}_{1} =2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления ${p}_{2}$
(в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{p}_{2}}{{p}_{1}}$, где $\alpha =5,75$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ $—$ постоянная, $T=300 K$ $—$ температура воздуха. Найдите, какое давление ${p}_{2}$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
Ответ: $5$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное давление воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{p_2}{p_1}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 10350, вместо коэффициента α — 5,75, количества вещества — 6, температуры — 300:
$$10350=5{,}75\cdot 6\cdot300\cdot\log_2 \frac{p_2}{2{,}5}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}75\cdot6=34{,}5$$
$$34{,}5\cdot300=10350$$
Уравнение стало короче:
$$10350=10350\log_2 \frac{p_2}{2{,}5}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 10350:
$$\log_2 \frac{p_2}{2{,}5}=\frac{10350}{10350}=1$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{p_2}{2{,}5}=2^{1}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{1}=2=2$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на начальное давление 2,5:
$$p_2=2{,}5\cdot2=5$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{5}{2{,}5}=2$$
$$\log_2 2=1$$
$$A=10350\cdot1=10350$$
Работа совпала с условием. При сжатии давление стало больше начального, результат положителен.
Ответ: $5$ атм.
Водолазный колокол, содержащий $υ=7$ моль воздуха объёмом ${V}_{1} =64 \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма ${V}_{2}$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha υT{\log }_{2} \frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$,
где $\alpha =5,8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300 \text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём ${V}_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 36 540 Дж. Ответ дайте в литрах.
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Определяем, что неизвестно и какую формулу использовать.
Нужно найти конечное значение объёма воздуха. В условии уже дана связь этой величины с работой. Поэтому подставим известные данные в эту формулу, а затем выразим неизвестное.
$$A=\alpha\nu T\log_2 \frac{V_1}{V_2}$$
Давление и объём положительны. Все числа уже даны в тех единицах, которые требуются формуле.
Шаг 2. Подставляем данные. Вместо работы пишем 36540, вместо коэффициента α — 5,8, количества вещества — 7, температуры — 300:
$$36540=5{,}8\cdot 7\cdot300\cdot\log_2 \frac{64}{V_2}$$
Сначала считаем обычное произведение перед логарифмом:
$$5{,}8\cdot7=40{,}6$$
$$40{,}6\cdot300=12180$$
Уравнение стало короче:
$$36540=12180\log_2 \frac{64}{V_2}$$
Шаг 3. Оставляем логарифм один. Для этого делим обе части на 12180:
$$\log_2 \frac{64}{V_2}=\frac{36540}{12180}=3$$
Логарифм по основанию 2 показывает, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить его аргумент. Поэтому полученное равенство означает:
$$\frac{64}{V_2}=2^{3}$$
Вычисляем степень: умножаем число 2 на себя столько раз, сколько указано показателем:
$$2^{3}=2\cdot2\cdot2=8$$
Шаг 4. Находим неизвестную величину.
Умножаем обе части на положительное неизвестное V₂, чтобы убрать его из знаменателя:
$$64=8V_2$$
Делим обе части на 8:
$$V_2=\frac{64}{8}=8$$
Шаг 5. Проверяем работу и физический смысл.
$$\frac{64}{8}=8$$
$$\log_2 8=3$$
$$A=12180\cdot3=36540$$
Работа совпала с условием. При сжатии объём стал меньше начального, результат положителен.
Ответ: $8$ л.
