Два тела, массой $m=6 \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=9 \text{м} /c$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q=m{v}^{2} {\sin }^{2} \alpha$, где $m$ $—$ масса (в кг), $v$ $—$ скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 90
Решение
Шаг 1. Определяем, какой угол нужен.
В формуле используется половина угла — α, а в ответе нужен полный угол 2α. Сначала найдём α по заданной энергии.
$$Q=mv^2\sin^2\alpha$$
Шаг 2. Подставляем данные:
$$243=6\cdot9^2\sin^2\alpha$$
Сначала вычисляем квадрат скорости, затем умножаем на массу:
$$9^2=9\cdot9=81$$
$$6\cdot81=486$$
$$243=486\sin^2\alpha$$
Делим обе части на 486:
$$\sin^2\alpha=\frac{243}{486}=\frac{1}{2}$$
Шаг 3. Учитываем смысл угла. Угол между направлениями находится от 0° до 180°, поэтому его половина α лежит от 0° до 90°. Синус на этом промежутке неотрицателен.
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
По табличному значению синуса на промежутке от 0° до 90°:
$$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\alpha=45^\circ$$
Шаг 4. Возвращаемся к полному углу:
$$2\alpha=2\cdot45=90^\circ$$
Проверяем энергию по квадрату найденного синуса:
$$Q=486\cdot\frac{1}{2}=243$$
Ответ: $90$ градусов.