Рациональные уравнения и неравенства — задание №9 ЕГЭ по математике

Шаг 1. Переводим условие работы сети в неравенство. Отключение происходит, если ток превышает 5 А. Следовательно, ток ровно 5 А ещё допустим. Требование к работающей сети: $$I\le5$$ Здесь $U$ — напряжение в вольтах, $R$ — сопротивление в омах, $I$ — сила тока в амперах. Нужно найти наименьшее сопротивление $R$. По закону Ома сила тока выражается через сопротивление: $$I=\frac U R$$ Шаг 2. Подставляем напряжение 220 В и ограничение тока: $$\frac{220}{R}\le5$$ Сопротивление положительно: R>0. Поэтому умножение обеих частей на R сохраняет знак неравенства: $$220\le5R$$ Шаг 3. Делим обе части на положительное число 5: $$\frac{220}{5}\le R$$ $$44\le R$$ То есть разрешены все сопротивления от 44 Ом и больше: $$R\ge44$$ Наименьшее из них — 44 Ом. Равенство включено, поэтому это значение можно взять. Шаг 4. Проверяем ток при найденном сопротивлении: $$I=\frac{220}{44}=5$$ Ток равен 5 А и не превышает допустимую границу. Сеть продолжает работать. Ответ: $44$ Ом.

Шаг 1. Выбираем неизвестное. Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен. $$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$ $$c>14$$ Шаг 2. Подставляем частоты и скорости: $$150=140\frac{c+15}{c-14}$$ Умножаем обе части на положительное выражение c−14, чтобы убрать знаменатель: $$150(c-14)=140(c+15)$$ Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое. $$150c-150\cdot14=140c+140\cdot15$$ $$150\cdot14=2100$$ $$140\cdot15=2100$$ $$150c-2100=140c+2100$$ Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется: $$(150-140)c=2100+2100$$ $$10c=4200$$ Делим обе части на коэффициент при c: $$c=\frac{4200}{10}=420$$ Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту. $$c=420>14$$ $$c+u=420+15=435$$ $$c-v=420-14=406$$ $$f=140\cdot\frac{435}{406}=150$$ Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен. Ответ: $420$ м/с.

Шаг 1. Обозначаем сопротивление подключаемого прибора через r, в омах. Оно положительно. Нужно, чтобы общее сопротивление двух приборов было не меньше 18 Ом. Поэтому используем данную формулу параллельного соединения и составляем неравенство: $$R=\frac{R_1r}{R_1+r}$$ $$\frac{21r}{21+r}\ge18$$ Шаг 2. Убираем знаменатель. Он положителен, так как 21+r>0, поэтому знак неравенства не меняется: $$21r\ge18(21+r)$$ Умножаем число за скобками на каждое слагаемое: $$21r\ge18\cdot21+18r$$ $$18\cdot21=378$$ $$21r\ge378+18r$$ Вычитаем 18r из обеих частей: $$(21-18)r\ge378$$ $$3r\ge378$$ Делим обе части на положительный коэффициент 3: $$r\ge\frac{378}{3}=126$$ Шаг 3. Выбираем наименьшее значение и проверяем. Все большие сопротивления тоже подходят, но вопрос просит самое маленькое. Это граничное значение 126 Ом. $$R=\frac{21\cdot126}{21+126}=\frac{2646}{147}=18$$ Общее сопротивление равно допустимой нижней границе. Слова «не меньше» разрешают равенство. Ответ: $126$ Ом.

Шаг 1. Объясняем выбор способа. Нужно сделать расстояние d₁ до лампочки как можно меньше, сохранив чёткое изображение. Для этого выразим d₁ через расстояние d₂ до экрана и посмотрим, как оно меняется. $$\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{36}$$ Шаг 2. Вычитаем 1/d₂ из обеих частей и приводим правую часть к общему знаменателю: $$\frac1{d_1}=\frac1{36}-\frac1{d_2}$$ $$\frac1{d_1}=\frac{d_2}{36d_2}-\frac{36}{36d_2}=\frac{d_2-36}{36d_2}$$ Расстояния положительны, а экран находится дальше фокуса. Можно обратить обе равные ненулевые дроби: $$d_1=\frac{36d_2}{d_2-36}$$ Шаг 3. Выделяем в этой дроби постоянную часть. Для этого перепишем числитель: $$36d_2=36[(d_2-36)+36]$$ $$36d_2=36(d_2-36)+1296$$ Делим каждое слагаемое числителя на один и тот же знаменатель: $$d_1=36+\frac{1296}{d_2-36}$$ Экран может находиться на расстоянии от 160 до 180 см. На всём этом промежутке знаменатель положителен. При увеличении d₂ он увеличивается, положительная дробь уменьшается, а значит, уменьшается и d₁. Поэтому берём наибольшее допустимое расстояние до экрана: $$d_2=180$$ Шаг 4. Считаем расстояние до лампочки: $$d_1=\frac{36\cdot180}{180-36}$$ $$36\cdot180=6480$$ $$180-36=144$$ $$d_1=\frac{6480}{144}=45$$ Шаг 5. Проверяем разрешённый диапазон лампочки: $$30\le45\le50$$ Значение находится в указанном диапазоне, поэтому его можно использовать. Проверка чёткости: $$\frac1{45}+\frac1{180}=\frac{4}{180}+\frac1{180}$$ $$\frac{4+1}{180}=\frac{5}{180}=\frac1{36}$$ Ответ: $45$ см.

Шаг 1. Переводим различимость гудков в ограничение частоты. У приближающегося тепловоза частота выше исходной. Она должна превышать первую хотя бы на 8 Гц. Поэтому: $$f\ge192+8=200$$ Нужно найти минимальную скорость v. В данной модели 0≤v<300, поэтому знаменатель формулы положителен. Шаг 2. Подставляем формулу частоты в неравенство: $$\frac{192}{1-v/300}\ge200$$ Умножаем обе части на положительный знаменатель, сохраняя знак: $$192\ge200(1-v/300)$$ Раскрываем скобки: $$192\ge200-\frac{200v}{300}$$ Прибавляем дробь с v к обеим частям и вычитаем исходную частоту: $$\frac{200v}{300}\ge200-192=8$$ Умножаем на 300, затем делим на положительное число 200: $$200v\ge8\cdot300=2400$$ $$v\ge\frac{2400}{200}=12$$ Шаг 3. Проверяем граничную скорость. $$1-\frac{12}{300}=\frac{24}{25}$$ $$f=\frac{192}{\frac{24}{25}}=200$$ $$f-f_0=200-192=8$$ Разница частот ровно требуемая, поэтому граница допустима и является наименьшей скоростью. Ответ: $12$ м/с.

Шаг 1. Объясняем выбор способа. Нужно сделать расстояние d₁ до лампочки как можно меньше, сохранив чёткое изображение. Для этого выразим d₁ через расстояние d₂ до экрана и посмотрим, как оно меняется. $$\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{30}$$ Шаг 2. Вычитаем 1/d₂ из обеих частей и приводим правую часть к общему знаменателю: $$\frac1{d_1}=\frac1{30}-\frac1{d_2}$$ $$\frac1{d_1}=\frac{d_2}{30d_2}-\frac{30}{30d_2}=\frac{d_2-30}{30d_2}$$ Расстояния положительны, а экран находится дальше фокуса. Можно обратить обе равные ненулевые дроби: $$d_1=\frac{30d_2}{d_2-30}$$ Шаг 3. Выделяем в этой дроби постоянную часть. Для этого перепишем числитель: $$30d_2=30[(d_2-30)+30]$$ $$30d_2=30(d_2-30)+900$$ Делим каждое слагаемое числителя на один и тот же знаменатель: $$d_1=30+\frac{900}{d_2-30}$$ Экран может находиться на расстоянии от 160 до 180 см. На всём этом промежутке знаменатель положителен. При увеличении d₂ он увеличивается, положительная дробь уменьшается, а значит, уменьшается и d₁. Поэтому берём наибольшее допустимое расстояние до экрана: $$d_2=180$$ Шаг 4. Считаем расстояние до лампочки: $$d_1=\frac{30\cdot180}{180-30}$$ $$30\cdot180=5400$$ $$180-30=150$$ $$d_1=\frac{5400}{150}=36$$ Шаг 5. Проверяем разрешённый диапазон лампочки: $$20\le36\le40$$ Значение находится в указанном диапазоне, поэтому его можно использовать. Проверка чёткости: $$\frac1{36}+\frac1{180}=\frac{5}{180}+\frac1{180}$$ $$\frac{5+1}{180}=\frac{6}{180}=\frac1{30}$$ Ответ: $36$ см.

Шаг 1. Переводим различимость гудков в ограничение частоты. У приближающегося тепловоза частота выше исходной. Она должна превышать первую хотя бы на 5 Гц. Поэтому: $$f\ge295+5=300$$ Нужно найти минимальную скорость v. В данной модели 0≤v<300, поэтому знаменатель формулы положителен. Шаг 2. Подставляем формулу частоты в неравенство: $$\frac{295}{1-v/300}\ge300$$ Умножаем обе части на положительный знаменатель, сохраняя знак: $$295\ge300(1-v/300)$$ Раскрываем скобки: $$295\ge300-\frac{300v}{300}$$ Прибавляем дробь с v к обеим частям и вычитаем исходную частоту: $$\frac{300v}{300}\ge300-295=5$$ Умножаем на 300, затем делим на положительное число 300: $$300v\ge5\cdot300=1500$$ $$v\ge\frac{1500}{300}=5$$ Шаг 3. Проверяем граничную скорость. $$1-\frac{5}{300}=\frac{59}{60}$$ $$f=\frac{295}{\frac{59}{60}}=300$$ $$f-f_0=300-295=5$$ Разница частот ровно требуемая, поэтому граница допустима и является наименьшей скоростью. Ответ: $5$ м/с.

Шаг 1. Определяем неизвестное. Ищем сопротивление нагрузки R. Оно положительно. В формуле напряжения остальные величины известны, поэтому подставим их: $$U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$$ $$170=\frac{180R}{R+1}$$ Шаг 2. Умножаем обе части на положительный знаменатель: $$170(R+1)=180R$$ Раскрываем скобки и вычисляем произведение: $$170R+170\cdot1=180R$$ $$170R+170=180R$$ Вычитаем 170R из обеих частей: $$170=(180-170)R$$ $$170=10R$$ Делим на коэффициент при R: $$R=\frac{170}{10}=17$$ Шаг 3. Проверяем исходное напряжение: $$U=\frac{180\cdot17}{17+1}=\frac{3060}{18}=170$$ Сопротивление положительно, напряжение совпало с условием. Ответ: $17$ Ом.

Шаг 1. Выбираем неизвестное. Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен. $$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$ $$c>11$$ Шаг 2. Подставляем частоты и скорости: $$110=100\frac{c+29}{c-11}$$ Умножаем обе части на положительное выражение c−11, чтобы убрать знаменатель: $$110(c-11)=100(c+29)$$ Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое. $$110c-110\cdot11=100c+100\cdot29$$ $$110\cdot11=1210$$ $$100\cdot29=2900$$ $$110c-1210=100c+2900$$ Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется: $$(110-100)c=1210+2900$$ $$10c=4110$$ Делим обе части на коэффициент при c: $$c=\frac{4110}{10}=411$$ Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту. $$c=411>11$$ $$c+u=411+29=440$$ $$c-v=411-11=400$$ $$f=100\cdot\frac{440}{400}=110$$ Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен. Ответ: $411$ м/с.

Шаг 1. Выбираем неизвестное. Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен. $$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$ $$c>11$$ Шаг 2. Подставляем частоты и скорости: $$170=160\frac{c+8}{c-11}$$ Умножаем обе части на положительное выражение c−11, чтобы убрать знаменатель: $$170(c-11)=160(c+8)$$ Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое. $$170c-170\cdot11=160c+160\cdot8$$ $$170\cdot11=1870$$ $$160\cdot8=1280$$ $$170c-1870=160c+1280$$ Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется: $$(170-160)c=1870+1280$$ $$10c=3150$$ Делим обе части на коэффициент при c: $$c=\frac{3150}{10}=315$$ Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту. $$c=315>11$$ $$c+u=315+8=323$$ $$c-v=315-11=304$$ $$f=160\cdot\frac{323}{304}=170$$ Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен. Ответ: $315$ м/с.

Шаг 1. Определяем неизвестное. Ищем сопротивление нагрузки R. Оно положительно. В формуле напряжения остальные величины известны, поэтому подставим их: $$U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$$ $$120=\frac{130R}{R+1}$$ Шаг 2. Умножаем обе части на положительный знаменатель: $$120(R+1)=130R$$ Раскрываем скобки и вычисляем произведение: $$120R+120\cdot1=130R$$ $$120R+120=130R$$ Вычитаем 120R из обеих частей: $$120=(130-120)R$$ $$120=10R$$ Делим на коэффициент при R: $$R=\frac{120}{10}=12$$ Шаг 3. Проверяем исходное напряжение: $$U=\frac{130\cdot12}{12+1}=\frac{1560}{13}=120$$ Сопротивление положительно, напряжение совпало с условием. Ответ: $12$ Ом.

Шаг 1. Обозначаем сопротивление подключаемого прибора через r, в омах. Оно положительно. Нужно, чтобы общее сопротивление двух приборов было не меньше 20 Ом. Поэтому используем данную формулу параллельного соединения и составляем неравенство: $$R=\frac{R_1r}{R_1+r}$$ $$\frac{36r}{36+r}\ge20$$ Шаг 2. Убираем знаменатель. Он положителен, так как 36+r>0, поэтому знак неравенства не меняется: $$36r\ge20(36+r)$$ Умножаем число за скобками на каждое слагаемое: $$36r\ge20\cdot36+20r$$ $$20\cdot36=720$$ $$36r\ge720+20r$$ Вычитаем 20r из обеих частей: $$(36-20)r\ge720$$ $$16r\ge720$$ Делим обе части на положительный коэффициент 16: $$r\ge\frac{720}{16}=45$$ Шаг 3. Выбираем наименьшее значение и проверяем. Все большие сопротивления тоже подходят, но вопрос просит самое маленькое. Это граничное значение 45 Ом. $$R=\frac{36\cdot45}{36+45}=\frac{1620}{81}=20$$ Общее сопротивление равно допустимой нижней границе. Слова «не меньше» разрешают равенство. Ответ: $45$ Ом.