В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет ${R}_{1} =21$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить тостер, сопротивление которого ${R}_{2}$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями ${R}_{1}$ и ${R}_{2}$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R =\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть
не меньше 18 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление тостера. Ответ дайте в омах.
Ответ: $126$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем сопротивление подключаемого прибора через r, в омах.
Оно положительно. Нужно, чтобы общее сопротивление двух приборов было не меньше 18 Ом. Поэтому используем данную формулу параллельного соединения и составляем неравенство:
$$R=\frac{R_1r}{R_1+r}$$
$$\frac{21r}{21+r}\ge18$$
Шаг 2. Убираем знаменатель. Он положителен, так как 21+r>0, поэтому знак неравенства не меняется:
$$21r\ge18(21+r)$$
Умножаем число за скобками на каждое слагаемое:
$$21r\ge18\cdot21+18r$$
$$18\cdot21=378$$
$$21r\ge378+18r$$
Вычитаем 18r из обеих частей:
$$(21-18)r\ge378$$
$$3r\ge378$$
Делим обе части на положительный коэффициент 3:
$$r\ge\frac{378}{3}=126$$
Шаг 3. Выбираем наименьшее значение и проверяем.
Все большие сопротивления тоже подходят, но вопрос просит самое маленькое. Это граничное значение 126 Ом.
$$R=\frac{21\cdot126}{21+126}=\frac{2646}{147}=18$$
Общее сопротивление равно допустимой нижней границе. Слова «не меньше» разрешают равенство.
Ответ: $126$ Ом.