При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f ={f}_{0} \cdot \frac{c+u}{c-v}$, где ${f}_{0} =100 \text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде (в м/с),
а $u=29 \text{м} /\text{с}$ и $v=11 \text{м} /\text{с}$ $—$ скорости приёмника и источника относительно среды. При какой скорости $c$ распространения сигнала в среде частота
сигнала $f$ в приёмнике будет равна 110 Гц? Ответ дайте в м/с.
Ответ: $411$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное.
Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен.
$$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$
$$c>11$$
Шаг 2. Подставляем частоты и скорости:
$$110=100\frac{c+29}{c-11}$$
Умножаем обе части на положительное выражение c−11, чтобы убрать знаменатель:
$$110(c-11)=100(c+29)$$
Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое.
$$110c-110\cdot11=100c+100\cdot29$$
$$110\cdot11=1210$$
$$100\cdot29=2900$$
$$110c-1210=100c+2900$$
Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется:
$$(110-100)c=1210+2900$$
$$10c=4110$$
Делим обе части на коэффициент при c:
$$c=\frac{4110}{10}=411$$
Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту.
$$c=411>11$$
$$c+u=411+29=440$$
$$c-v=411-11=400$$
$$f=100\cdot\frac{440}{400}=110$$
Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен.
Ответ: $411$ м/с.