При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$
(в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f ={f}_{0} \cdot \frac{c+u}{c-v}$, где ${f}_{0} =160 \text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а $u=8 \text{м} /\text{с}$ и $v=11 \text{м} /\text{с}$ $—$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/с.
Ответ: $315$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное.
Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен.
$$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$
$$c>11$$
Шаг 2. Подставляем частоты и скорости:
$$170=160\frac{c+8}{c-11}$$
Умножаем обе части на положительное выражение c−11, чтобы убрать знаменатель:
$$170(c-11)=160(c+8)$$
Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое.
$$170c-170\cdot11=160c+160\cdot8$$
$$170\cdot11=1870$$
$$160\cdot8=1280$$
$$170c-1870=160c+1280$$
Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется:
$$(170-160)c=1870+1280$$
$$10c=3150$$
Делим обе части на коэффициент при c:
$$c=\frac{3150}{10}=315$$
Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту.
$$c=315>11$$
$$c+u=315+8=323$$
$$c-v=315-11=304$$
$$f=160\cdot\frac{323}{304}=170$$
Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен.
Ответ: $315$ м/с.