При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f ={f}_{0} \cdot \frac{c+u}{c-v}$, где ${f}_{0} =140 \text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а $u=15 \text{м} /\text{с}$ и $v=14 \text{м} /\text{с}$ $—$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 150 Гц? Ответ дайте в м/с.
Ответ: 420
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное.
Нужно найти скорость распространения звука c. Формула уже дана, поэтому подставим остальные величины и решим уравнение. По смыслу этой модели c больше скорости v: знаменатель положителен.
$$f=f_0\frac{c+u}{c-v}$$
$$c>14$$
Шаг 2. Подставляем частоты и скорости:
$$150=140\frac{c+15}{c-14}$$
Умножаем обе части на положительное выражение c−14, чтобы убрать знаменатель:
$$150(c-14)=140(c+15)$$
Раскрываем скобки: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое.
$$150c-150\cdot14=140c+140\cdot15$$
$$150\cdot14=2100$$
$$140\cdot15=2100$$
$$150c-2100=140c+2100$$
Слагаемые с c переносим влево, числа — вправо. При переносе знак меняется:
$$(150-140)c=2100+2100$$
$$10c=4200$$
Делим обе части на коэффициент при c:
$$c=\frac{4200}{10}=420$$
Шаг 3. Проверяем ограничение и исходную частоту.
$$c=420>14$$
$$c+u=420+15=435$$
$$c-v=420-14=406$$
$$f=140\cdot\frac{435}{406}=150$$
Нужная частота восстановлена, знаменатель положителен.
Ответ: $420$ м/с.