Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой ${f}_{0}=192 \text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f(v)=\frac{{f}_{0}}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ $—$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300 \text{м/с}$. Ответ дайте в $\text{м/с}$.
Ответ: $12$.
Решение
Шаг 1. Переводим различимость гудков в ограничение частоты.
У приближающегося тепловоза частота выше исходной. Она должна превышать первую хотя бы на 8 Гц. Поэтому:
$$f\ge192+8=200$$
Нужно найти минимальную скорость v. В данной модели 0≤v<300, поэтому знаменатель формулы положителен.
Шаг 2. Подставляем формулу частоты в неравенство:
$$\frac{192}{1-v/300}\ge200$$
Умножаем обе части на положительный знаменатель, сохраняя знак:
$$192\ge200(1-v/300)$$
Раскрываем скобки:
$$192\ge200-\frac{200v}{300}$$
Прибавляем дробь с v к обеим частям и вычитаем исходную частоту:
$$\frac{200v}{300}\ge200-192=8$$
Умножаем на 300, затем делим на положительное число 200:
$$200v\ge8\cdot300=2400$$
$$v\ge\frac{2400}{200}=12$$
Шаг 3. Проверяем граничную скорость.
$$1-\frac{12}{300}=\frac{24}{25}$$
$$f=\frac{192}{\frac{24}{25}}=200$$
$$f-f_0=200-192=8$$
Разница частот ровно требуемая, поэтому граница допустима и является наименьшей скоростью.
Ответ: $12$ м/с.