Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой ${f}_{0}=295 \text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит
от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{{f}_{0}}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц),
где $c$ $—$ скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите,
с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз,
если человек смог различить сигналы, а $c=300 \text{м/с}.$ Ответ дайте в $\text{м/с}.$
Ответ: $5$.
Решение
Шаг 1. Переводим различимость гудков в ограничение частоты.
У приближающегося тепловоза частота выше исходной. Она должна превышать первую хотя бы на 5 Гц. Поэтому:
$$f\ge295+5=300$$
Нужно найти минимальную скорость v. В данной модели 0≤v<300, поэтому знаменатель формулы положителен.
Шаг 2. Подставляем формулу частоты в неравенство:
$$\frac{295}{1-v/300}\ge300$$
Умножаем обе части на положительный знаменатель, сохраняя знак:
$$295\ge300(1-v/300)$$
Раскрываем скобки:
$$295\ge300-\frac{300v}{300}$$
Прибавляем дробь с v к обеим частям и вычитаем исходную частоту:
$$\frac{300v}{300}\ge300-295=5$$
Умножаем на 300, затем делим на положительное число 300:
$$300v\ge5\cdot300=1500$$
$$v\ge\frac{1500}{300}=5$$
Шаг 3. Проверяем граничную скорость.
$$1-\frac{5}{300}=\frac{59}{60}$$
$$f=\frac{295}{\frac{59}{60}}=300$$
$$f-f_0=300-295=5$$
Разница частот ровно требуемая, поэтому граница допустима и является наименьшей скоростью.
Ответ: $5$ м/с.