В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет ${R}_{1} =36$Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого ${R}_{2}$ (в Ом).
При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями ${R}_{1}$ и ${R}_{2}$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R =\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$. Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.
Ответ: $45$.
Решение
Шаг 1. Обозначаем сопротивление подключаемого прибора через r, в омах.
Оно положительно. Нужно, чтобы общее сопротивление двух приборов было не меньше 20 Ом. Поэтому используем данную формулу параллельного соединения и составляем неравенство:
$$R=\frac{R_1r}{R_1+r}$$
$$\frac{36r}{36+r}\ge20$$
Шаг 2. Убираем знаменатель. Он положителен, так как 36+r>0, поэтому знак неравенства не меняется:
$$36r\ge20(36+r)$$
Умножаем число за скобками на каждое слагаемое:
$$36r\ge20\cdot36+20r$$
$$20\cdot36=720$$
$$36r\ge720+20r$$
Вычитаем 20r из обеих частей:
$$(36-20)r\ge720$$
$$16r\ge720$$
Делим обе части на положительный коэффициент 16:
$$r\ge\frac{720}{16}=45$$
Шаг 3. Выбираем наименьшее значение и проверяем.
Все большие сопротивления тоже подходят, но вопрос просит самое маленькое. Это граничное значение 45 Ом.
$$R=\frac{36\cdot45}{36+45}=\frac{1620}{81}=20$$
Общее сопротивление равно допустимой нижней границе. Слова «не меньше» разрешают равенство.
Ответ: $45$ Ом.