Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f =30$ см. Расстояние ${d}_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние ${d}_{2}$ от линзы до экрана $—$ в пределах от 160 см
до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение
$\frac{1}{{d}_{1}}+\frac{1}{{d}_{2}}=\frac{1}{f}$.
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ: $36$.
Решение
Шаг 1. Объясняем выбор способа.
Нужно сделать расстояние d₁ до лампочки как можно меньше, сохранив чёткое изображение. Для этого выразим d₁ через расстояние d₂ до экрана и посмотрим, как оно меняется.
$$\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{30}$$
Шаг 2. Вычитаем 1/d₂ из обеих частей и приводим правую часть к общему знаменателю:
$$\frac1{d_1}=\frac1{30}-\frac1{d_2}$$
$$\frac1{d_1}=\frac{d_2}{30d_2}-\frac{30}{30d_2}=\frac{d_2-30}{30d_2}$$
Расстояния положительны, а экран находится дальше фокуса. Можно обратить обе равные ненулевые дроби:
$$d_1=\frac{30d_2}{d_2-30}$$
Шаг 3. Выделяем в этой дроби постоянную часть. Для этого перепишем числитель:
$$30d_2=30[(d_2-30)+30]$$
$$30d_2=30(d_2-30)+900$$
Делим каждое слагаемое числителя на один и тот же знаменатель:
$$d_1=30+\frac{900}{d_2-30}$$
Экран может находиться на расстоянии от 160 до 180 см. На всём этом промежутке знаменатель положителен. При увеличении d₂ он увеличивается, положительная дробь уменьшается, а значит, уменьшается и d₁.
Поэтому берём наибольшее допустимое расстояние до экрана:
$$d_2=180$$
Шаг 4. Считаем расстояние до лампочки:
$$d_1=\frac{30\cdot180}{180-30}$$
$$30\cdot180=5400$$
$$180-30=150$$
$$d_1=\frac{5400}{150}=36$$
Шаг 5. Проверяем разрешённый диапазон лампочки:
$$20\le36\le40$$
Значение находится в указанном диапазоне, поэтому его можно использовать. Проверка чёткости:
$$\frac1{36}+\frac1{180}=\frac{5}{180}+\frac1{180}$$
$$\frac{5+1}{180}=\frac{6}{180}=\frac1{30}$$
Ответ: $36$ см.