Два тела, массой $m=9 \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=6 \text{м} /c$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q=m{v}^{2} {\sin }^{2} \alpha$, где $m$ $—$ масса (в кг), $v$ $—$ скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.
Ответ: $60$.
Решение
Шаг 1. Определяем, какой угол нужен.
В формуле используется половина угла — α, а в ответе нужен полный угол 2α. Сначала найдём α по заданной энергии.
$$Q=mv^2\sin^2\alpha$$
Шаг 2. Подставляем данные:
$$81=9\cdot6^2\sin^2\alpha$$
Сначала вычисляем квадрат скорости, затем умножаем на массу:
$$6^2=6\cdot6=36$$
$$9\cdot36=324$$
$$81=324\sin^2\alpha$$
Делим обе части на 324:
$$\sin^2\alpha=\frac{81}{324}=\frac{1}{4}$$
Шаг 3. Учитываем смысл угла. Угол между направлениями находится от 0° до 180°, поэтому его половина α лежит от 0° до 90°. Синус на этом промежутке неотрицателен.
Извлекаем неотрицательный квадратный корень:
$$\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$
По табличному значению синуса на промежутке от 0° до 90°:
$$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$$
$$\alpha=30^\circ$$
Шаг 4. Возвращаемся к полному углу:
$$2\alpha=2\cdot30=60^\circ$$
Проверяем энергию по квадрату найденного синуса:
$$Q=324\cdot\frac{1}{4}=81$$
Ответ: $60$ градусов.