Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${v}_{0}=60 \text{км/ч}$, выезжает
из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=18 {\text{км/ч}}^{2}$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется
по формуле $S={v}_{0}t+\frac{a{t}^{2}}{2}$, где $t$ $—$ время в часах, прошедшее после выезда
из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста
из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.
Ответ: $20$.
Решение
Шаг 1. Переводим вопрос в математическое условие.
Нужно найти время после выезда мотоциклиста. Величина t в формуле обозначает время. Сначала найдём моменты, когда указанная в формуле величина равна 21.
В задаче время t измеряется в часах, а ответ потребуется в минутах. Переведём единицы после решения.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу.
Исходная зависимость величины от времени:
$$S=v_0t+\frac{at^2}{2}$$
Вместо левой части записываем требуемую величину 21, вместо начальной скорости — 60, вместо ускорения — 18. Неизвестным остаётся только время t:
$$21=60t+\frac{18t^2}{2}$$
Коэффициент при t² получается делением ускорения на 2.
$$\frac{18}{2}=9$$
После этой операции формула имеет вид:
$$9 t^{2} + 60 t=21$$
Шаг 3. Решаем уравнение, не пропуская вычисление корней.
Переносим правую часть влево: вычитаем 21 из обеих частей. Получаем уравнение:
$$9 t^{2} + 60 t - 21=0$$
Делим все члены на общий ненулевой множитель 3:
$$3 t^{2} + 20 t - 7=0$$
Это квадратное уравнение. Сравниваем его с общей записью $A t^2+B t+C=0$. Здесь:
$$A=3,\qquad B=20,\qquad C=-7$$
Для нахождения корней используем дискриминант. Квадрат коэффициента B и произведение 4AC считаем отдельно:
$$B^2=(20)^2=400$$
$$4AC=4\cdot(3)\cdot(-7)=-84$$
$$D=B^2-4AC=400-(-84)=484$$
Дискриминант неотрицателен. Его квадратный корень равен:
$$\sqrt D=\sqrt{484}=22$$
Подставляем числа в формулу корней. Плюс и минус дают отдельные вычисления:
$$t_1=\frac{-B+\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)+22}{2\cdot(3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
$$t_2=\frac{-B-\sqrt D}{2A}=\frac{-(20)-22}{2\cdot(3)}=\frac{-42}{6}=-7$$
Шаг 4. Проверяем смысл найденных чисел.
Отсчёт идёт от начала процесса, поэтому время не может быть отрицательным.
Корень $-7$ отрицателен, то есть относился бы ко времени до начала отсчёта. Его исключаем.
Корень $\frac{1}{3}$ положителен и подходит.
Шаг 5. Выполняем обратную подстановку.
$$S(\frac{1}{3})=9 \left(\frac{1}{3}\right)^{2} + 60 \left(\frac{1}{3}\right)$$
Возводим число в степень с показателем $2$. При целом положительном показателе это произведение одинаковых множителей.
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$9 \cdot \frac{1}{9}=1$$
Выполняем умножение; при умножении на дробь сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.
$$60 \cdot \frac{1}{3}=20$$
Складываем полученные слагаемые с учётом их знаков.
$$1 + 20=21$$
Получили 21, как требовалось в условии.
Шаг 6. Переводим часы в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:
$$\frac{1}{3}\cdot60=20$$
Ответ: $20$ мин.