В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается
по закону $m={m}_{0} \cdot {2}^{- \frac{τ}{T}},$ где ${m}_{0}$ $—$ начальная масса изотопа (в мг), $τ$ $—$ время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада
(в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 196 мг. Период его полураспада составляет 4 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг.
Ответ: $8$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное и способ.
Нужно найти время до заданной массы. Обозначим это время t в минутах. Масса меняется по формуле из условия, поэтому составим уравнение относительно t:
$$m=m_0\cdot2^{-t/T}$$
Шаг 2. Подставляем начальную массу, конечную массу и период полураспада:
$$49=196\cdot2^{-t/4}$$
Делим обе части на начальную массу. Так степень с неизвестным показателем останется одна:
$$2^{-t/4}=\frac{49}{196}=\frac{1}{4}$$
Шаг 3. Представляем обе части степенями одного основания 2. Сначала:
$$4=2^{2}$$
Обратное число получается при отрицательном показателе:
$$\frac{1}{4}=\frac1{2^{2}}=2^{-2}$$
Значит:
$$2^{-t/4}=2^{-2}$$
У степеней с одинаковым основанием 2 равны показатели. Получаем линейное уравнение:
$$-\frac{t}{4}=-2$$
Умножаем обе части на −1:
$$\frac{t}{4}=2$$
Теперь умножаем обе части на период полураспада:
$$t=2\cdot4=8$$
Шаг 4. Проверяем найденное время:
$$\frac{t}{T}=\frac{8}{4}=2$$
$$m=196\cdot2^{-2}=\frac{196}{4}=49$$
Масса получилась именно такой, как требуется. Время положительно.
Ответ: $8$ мин.