В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m={m}_{0} \cdot {2}^{- \frac{t}{T}}$, где ${m}_{0}$ $—$ начальная масса изотопа, $t$ $—$ время, прошедшее от начального момента, $T$ $—$ период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.
Ответ: $6$.
Решение
Шаг 1. Выбираем неизвестное и способ.
Нужно найти время до заданной массы. Обозначим это время t в минутах. Масса меняется по формуле из условия, поэтому составим уравнение относительно t:
$$m=m_0\cdot2^{-t/T}$$
Шаг 2. Подставляем начальную массу, конечную массу и период полураспада:
$$12{,}5=100\cdot2^{-t/2}$$
Делим обе части на начальную массу. Так степень с неизвестным показателем останется одна:
$$2^{-t/2}=\frac{12{,}5}{100}=\frac{1}{8}$$
Шаг 3. Представляем обе части степенями одного основания 2. Сначала:
$$8=2^{3}$$
Обратное число получается при отрицательном показателе:
$$\frac{1}{8}=\frac1{2^{3}}=2^{-3}$$
Значит:
$$2^{-t/2}=2^{-3}$$
У степеней с одинаковым основанием 2 равны показатели. Получаем линейное уравнение:
$$-\frac{t}{2}=-3$$
Умножаем обе части на −1:
$$\frac{t}{2}=3$$
Теперь умножаем обе части на период полураспада:
$$t=3\cdot2=6$$
Шаг 4. Проверяем найденное время:
$$\frac{t}{T}=\frac{6}{2}=3$$
$$m=100\cdot2^{-3}=\frac{100}{8}=12{,}5$$
Масса получилась именно такой, как требуется. Время положительно.
Ответ: $6$ мин.