Логарифмические уравнения — задание №6 ЕГЭ по математике

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$x-4>0$$ Прибавим $4$ к обеим частям неравенства: $$x>4$$ По определению $\log_{4}u=3$ означает: чтобы получить число $u$, надо возвести $4$ в степень $3$. Поэтому: $$x-4=4^{3}$$ Вычислим степень последовательным умножением на основание: $$4^{2}=4\cdot4=16$$ $$4^{3}=16\cdot4=64$$ $$4^{3}=64$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-4=64$$ Прибавим $4$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=64+4=68$$ Проверим аргумент логарифма: $$1\cdot68-4=64$$ Он положителен. Полученное число равно $4^{3}$, поэтому его логарифм по основанию $4$ равен $3$. Ответ: $68$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$x-2>0$$ Прибавим $2$ к обеим частям неравенства: $$x>2$$ Оба логарифма имеют одинаковое допустимое основание. Такая функция принимает одинаковые значения только при одинаковых положительных аргументах. Поэтому убираем логарифмы и приравниваем аргументы: $$x-2=11$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-2=11$$ Прибавим $2$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=11+2=13$$ Проверим аргумент логарифма: $$1\cdot13-2=11$$ Он положителен. Аргументы двух логарифмов теперь одинаковы: оба равны $11$. Ответ: $13$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$-x+1>0$$ Вычтем $1$ из обеих частей неравенства: $$-x>-1$$ Разделим обе части на $-1$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x<\frac{-1}{-1}=1$$ Оба логарифма имеют одинаковое допустимое основание. Такая функция принимает одинаковые значения только при одинаковых положительных аргументах. Поэтому убираем логарифмы и приравниваем аргументы: $$-x+1=5$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+1=5$$ Вычтем $1$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=5-1=4$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{4}{-1}=-4$$ Проверим аргумент логарифма: $$(-1)\cdot(-4)+1=5$$ Он положителен. Аргументы двух логарифмов теперь одинаковы: оба равны $5$. Ответ: $-4$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$x+64>0$$ Вычтем $64$ из обеих частей неравенства: $$x>-64$$ По определению $\log_{3}u=4$ означает: чтобы получить число $u$, надо возвести $3$ в степень $4$. Поэтому: $$x+64=3^{4}$$ Вычислим степень последовательным умножением на основание: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ $$3^{4}=27\cdot3=81$$ $$3^{4}=81$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+64=81$$ Вычтем $64$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=81-64=17$$ Проверим аргумент логарифма: $$1\cdot17+64=81$$ Он положителен. Полученное число равно $3^{4}$, поэтому его логарифм по основанию $3$ равен $4$. Ответ: $17$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$-x+8>0$$ Вычтем $8$ из обеих частей неравенства: $$-x>-8$$ Разделим обе части на $-1$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x<\frac{-8}{-1}=8$$ Оба логарифма имеют одинаковое допустимое основание. Такая функция принимает одинаковые значения только при одинаковых положительных аргументах. Поэтому убираем логарифмы и приравниваем аргументы: $$-x+8=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+8=2$$ Вычтем $8$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2-8=-6$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-6}{-1}=6$$ Проверим аргумент логарифма: $$(-1)\cdot6+8=2$$ Он положителен. Аргументы двух логарифмов теперь одинаковы: оба равны $2$. Ответ: $6$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$-x+20>0$$ Вычтем $20$ из обеих частей неравенства: $$-x>-20$$ Разделим обе части на $-1$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x<\frac{-20}{-1}=20$$ По определению $\log_{5}u=2$ означает: чтобы получить число $u$, надо возвести $5$ в степень $2$. Поэтому: $$-x+20=5^{2}$$ Вычислим степень последовательным умножением на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{2}=25$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+20=25$$ Вычтем $20$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=25-20=5$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{5}{-1}=-5$$ Проверим аргумент логарифма: $$(-1)\cdot(-5)+20=25$$ Он положителен. Полученное число равно $5^{2}$, поэтому его логарифм по основанию $5$ равен $2$. Ответ: $-5$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$-x+15>0$$ Вычтем $15$ из обеих частей неравенства: $$-x>-15$$ Разделим обе части на $-1$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x<\frac{-15}{-1}=15$$ Оба логарифма имеют одинаковое допустимое основание. Такая функция принимает одинаковые значения только при одинаковых положительных аргументах. Поэтому убираем логарифмы и приравниваем аргументы: $$-x+15=7$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+15=7$$ Вычтем $15$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=7-15=-8$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-8}{-1}=8$$ Проверим аргумент логарифма: $$(-1)\cdot8+15=7$$ Он положителен. Аргументы двух логарифмов теперь одинаковы: оба равны $7$. Ответ: $8$.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$x+4>0$$ Вычтем $4$ из обеих частей неравенства: $$x>-4$$ Оба логарифма имеют одинаковое допустимое основание. Такая функция принимает одинаковые значения только при одинаковых положительных аргументах. Поэтому убираем логарифмы и приравниваем аргументы: $$x+4=16$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+4=16$$ Вычтем $4$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=16-4=12$$ Проверим аргумент логарифма: $$1\cdot12+4=16$$ Он положителен. Аргументы двух логарифмов теперь одинаковы: оба равны $16$. Ответ: $12$.