Задание №6 ЕГЭ по математике: Простейшие уравнения

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{3}=25\cdot5=125$$ $$5^{3}=125$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+2=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+2=3$$ Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=3-2=1$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{1}{-1}=-1$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot(-1)+2=1+2=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $-1$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ $$3^{4}=27\cdot3=81$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$3^{-4}=\frac1{3^{4}}=\frac1{81}=\frac{1}{81}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-10=-4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-10=-4$$ Прибавим $10$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-4+10=6$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot6-10=6-10=-4$$ Показатель правой части тоже равен $-4$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $6$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$3^{-3}=\frac1{3^{3}}=\frac1{27}=\frac{1}{27}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-11=-3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-11=-3$$ Прибавим $11$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-3+11=8$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot8-11=8-11=-3$$ Показатель правой части тоже равен $-3$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $8$.

Нужно найти число $x$ под кубическим корнем. Возведение в третью степень отменяет извлечение кубического корня. Эта операция допустима для любых действительных чисел. $$(\sqrt[3]{x+6})^3=4^3$$ $$4^3=4\cdot4\cdot4=16\cdot4=64$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+6=64$$ Вычтем $6$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=64-6=58$$ Проверим подстановкой в исходное уравнение: $$\sqrt[3]{58+6}=\sqrt[3]{64}=4$$ Ответ: $58$. Другого действительного корня нет, поскольку куб каждого действительного числа определяется однозначно.

Неизвестное находится в аргументе логарифма. Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому сначала запишем ограничение: $$x-4>0$$ Прибавим $4$ к обеим частям неравенства: $$x>4$$ По определению $\log_{4}u=3$ означает: чтобы получить число $u$, надо возвести $4$ в степень $3$. Поэтому: $$x-4=4^{3}$$ Вычислим степень последовательным умножением на основание: $$4^{2}=4\cdot4=16$$ $$4^{3}=16\cdot4=64$$ $$4^{3}=64$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-4=64$$ Прибавим $4$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=64+4=68$$ Проверим аргумент логарифма: $$1\cdot68-4=64$$ Он положителен. Полученное число равно $4^{3}$, поэтому его логарифм по основанию $4$ равен $3$. Ответ: $68$.

Нужно найти число $x$ под кубическим корнем. Возведение в третью степень отменяет извлечение кубического корня. Эта операция допустима для любых действительных чисел. $$(\sqrt[3]{x+3})^3=3^3$$ $$3^3=3\cdot3\cdot3=9\cdot3=27$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+3=27$$ Вычтем $3$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=27-3=24$$ Проверим подстановкой в исходное уравнение: $$\sqrt[3]{24+3}=\sqrt[3]{27}=3$$ Ответ: $24$. Другого действительного корня нет, поскольку куб каждого действительного числа определяется однозначно.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Справа также есть степень с неизвестным. Поскольку $9=3^2$, при возведении степени в степень умножаем показатели: $$9^{2x}=(3^2)^{2x}=3^{4x}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x+6=4x$$ Вычтем из обеих частей слагаемое с $x$, стоящее справа: $$(1-4)x+6=0$$ $$-3x+6=0$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-3x+6=0$$ Вычтем $6$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-3x=0-6=-6$$ Разделим обе части на коэффициент $-3$ перед $x$: $$x=\frac{-6}{-3}=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot2+6=2+6=8$$ Показатель справа тоже вычислим после подстановки: $$4\cdot2+0=8+0=8$$ Показатель правой части тоже равен $8$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $3$. Последовательно умножаем на основание: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ $$3^{4}=27\cdot3=81$$ $$3^{4}=81$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x+2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+2=4$$ Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=4-2=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot2+2=2+2=4$$ Показатель правой части тоже равен $4$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-7x+99\ge0$$ Вычтем $99$ из обеих частей неравенства: $$-7x\ge-99$$ Разделим обе части на $-7$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-99}{-7}=\frac{99}{7}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-7x+99})^2=6^2$$ $$6^2=6\cdot6=36$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-7x+99=36$$ Вычтем $99$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-7x=36-99=-63$$ Разделим обе части на коэффициент $-7$ перед $x$: $$x=\frac{-63}{-7}=9$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-7)\cdot9+99=-63+99=36$$ $$\sqrt{36}=6$$ Подкоренное выражение $36$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $9$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$9x-47\ge0$$ Прибавим $47$ к обеим частям неравенства: $$9x\ge47$$ Разделим обе части на $9$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{47}{9}=\frac{47}{9}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{9x-47})^2=4^2$$ $$4^2=4\cdot4=16$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$9x-47=16$$ Прибавим $47$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$9x=16+47=63$$ Разделим обе части на коэффициент $9$ перед $x$: $$x=\frac{63}{9}=7$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$9\cdot7-47=63-47=16$$ $$\sqrt{16}=4$$ Подкоренное выражение $16$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $7$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $8$. Последовательно умножаем на основание: $$8^{2}=8\cdot8=64$$ $$8^{2}=64$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+9=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+9=2$$ Вычтем $9$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2-9=-7$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-7}{-1}=7$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot7+9=-7+9=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $8$ обе части совпадают. Ответ: $7$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{6}=6^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(6^{-1})^{x-2}=6^{-( x-2 )}=6^{-x+2}$$ Справа также есть степень с неизвестным. Её показатель оставляем в виде линейного выражения: $$6^{x}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+2=x$$ Вычтем из обеих частей слагаемое с $x$, стоящее справа: $$(-1-1)x+2=0$$ $$-2x+2=0$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-2x+2=0$$ Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-2x=0-2=-2$$ Разделим обе части на коэффициент $-2$ перед $x$: $$x=\frac{-2}{-2}=1$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot1+2=-1+2=1$$ Показатель справа тоже вычислим после подстановки: $$1\cdot1+0=1+0=1$$ Показатель правой части тоже равен $1$. Значит, после приведения к основанию $6$ обе части совпадают. Ответ: $1$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-4x+36\ge0$$ Вычтем $36$ из обеих частей неравенства: $$-4x\ge-36$$ Разделим обе части на $-4$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-36}{-4}=9$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-4x+36})^2=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-4x+36=4$$ Вычтем $36$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-4x=4-36=-32$$ Разделим обе части на коэффициент $-4$ перед $x$: $$x=\frac{-32}{-4}=8$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-4)\cdot8+36=-32+36=4$$ $$\sqrt{4}=2$$ Подкоренное выражение $4$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $8$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-5x+44\ge0$$ Вычтем $44$ из обеих частей неравенства: $$-5x\ge-44$$ Разделим обе части на $-5$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-44}{-5}=\frac{44}{5}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-5x+44})^2=3^2$$ $$3^2=3\cdot3=9$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-5x+44=9$$ Вычтем $44$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-5x=9-44=-35$$ Разделим обе части на коэффициент $-5$ перед $x$: $$x=\frac{-35}{-5}=7$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-5)\cdot7+44=-35+44=9$$ $$\sqrt{9}=3$$ Подкоренное выражение $9$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $7$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $2$. Последовательно умножаем на основание: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ $$2^{3}=4\cdot2=8$$ $$2^{4}=8\cdot2=16$$ $$2^{5}=16\cdot2=32$$ $$2^{5}=32$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+11=5$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+11=5$$ Вычтем $11$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=5-11=-6$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-6}{-1}=6$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot6+11=-6+11=5$$ Показатель правой части тоже равен $5$. Значит, после приведения к основанию $2$ обе части совпадают. Ответ: $6$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$3^{-3}=\frac1{3^{3}}=\frac1{27}=\frac{1}{27}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-5=-3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-5=-3$$ Прибавим $5$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-3+5=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot2-5=2-5=-3$$ Показатель правой части тоже равен $-3$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

В знаменателе есть неизвестное. Дробь определена, только если знаменатель не равен нулю. Сначала найдём запрещённое значение, приравняв знаменатель нулю: Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$3x-4=0$$ Прибавим $4$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$3x=0+4=4$$ Разделим обе части на коэффициент $3$ перед $x$: $$x=\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$$ При этом значении дробь не существует, поэтому исключаем его: $$x\ne\frac43$$ Умножим обе части уравнения на ненулевой знаменатель. Так мы избавимся от дроби: $$\frac1{3x-4}=5$$ $$1=5(3x-4)$$ Раскроем скобки: число 5 умножается на каждое слагаемое в скобке: $$1=5\cdot3x-5\cdot4=15x-20$$ Прибавим 20 к обеим частям: $$1+20=15x$$ $$21=15x$$ Разделим обе части на 15 и сократим дробь на 3: $$x=\frac{21}{15}=\frac75=1{,}4$$ Проверим сначала знаменатель, затем всю левую часть: $$3\cdot\frac75-4=\frac{21}{5}-\frac{20}{5}=\frac15\ne0$$ Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь: $$\frac1{1/5}=1\cdot5=5$$ Получили правую часть исходного уравнения. Ответ: $1{,}4$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{3}=25\cdot5=125$$ $$5^{3}=125$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-2=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-2=3$$ Прибавим $2$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=3+2=5$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot5-2=5-2=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $5$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$5x-1\ge0$$ Прибавим $1$ к обеим частям неравенства: $$5x\ge1$$ Разделим обе части на $5$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{5x-1})^2=7^2$$ $$7^2=7\cdot7=49$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$5x-1=49$$ Прибавим $1$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$5x=49+1=50$$ Разделим обе части на коэффициент $5$ перед $x$: $$x=\frac{50}{5}=10$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$5\cdot10-1=50-1=49$$ $$\sqrt{49}=7$$ Подкоренное выражение $49$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $10$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{7}=7^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(7^{-1})^{x+4}=7^{-( x+4 )}=7^{-x-4}$$ Представим числовую правую часть как степень основания $7$. Последовательно умножаем на основание: $$7^{2}=7\cdot7=49$$ $$7^{2}=49$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x-4=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x-4=2$$ Прибавим $4$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2+4=6$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{6}{-1}=-6$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot(-6)-4=6-4=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $7$ обе части совпадают. Ответ: $-6$.