Найдите корень уравнения ${(\frac{1}{6})}^{x - 2} ={6}^{x}$.
Ответ: $1$.
Решение
Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием.
Дробное основание заменяем отрицательной степенью:
$$\frac1{6}=6^{-1}$$
При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого:
$$(6^{-1})^{x-2}=6^{-( x-2 )}=6^{-x+2}$$
Справа также есть степень с неизвестным. Её показатель оставляем в виде линейного выражения:
$$6^{x}$$
У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели:
$$-x+2=x$$
Вычтем из обеих частей слагаемое с $x$, стоящее справа:
$$(-1-1)x+2=0$$
$$-2x+2=0$$
Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени:
$$-2x+2=0$$
Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно:
$$-2x=0-2=-2$$
Разделим обе части на коэффициент $-2$ перед $x$:
$$x=\frac{-2}{-2}=1$$
Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$:
$$(-1)\cdot1+2=-1+2=1$$
Показатель справа тоже вычислим после подстановки:
$$1\cdot1+0=1+0=1$$
Показатель правой части тоже равен $1$. Значит, после приведения к основанию $6$ обе части совпадают. Ответ: $1$.