ФИПИ 673F60 — Показательные уравнения

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{5}=5^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(5^{-1})^{x-5}=5^{-( x-5 )}=5^{-x+5}$$ Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{3}=25\cdot5=125$$ $$5^{3}=125$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+5=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+5=3$$ Вычтем $5$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=3-5=-2$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-2}{-1}=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot2+5=-2+5=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $2$.