Показательные уравнения — задание №6 ЕГЭ по математике

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{3}=25\cdot5=125$$ $$5^{3}=125$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+2=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+2=3$$ Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=3-2=1$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{1}{-1}=-1$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot(-1)+2=1+2=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $-1$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ $$3^{4}=27\cdot3=81$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$3^{-4}=\frac1{3^{4}}=\frac1{81}=\frac{1}{81}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-10=-4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-10=-4$$ Прибавим $10$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-4+10=6$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot6-10=6-10=-4$$ Показатель правой части тоже равен $-4$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $6$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$3^{-3}=\frac1{3^{3}}=\frac1{27}=\frac{1}{27}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-11=-3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-11=-3$$ Прибавим $11$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-3+11=8$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot8-11=8-11=-3$$ Показатель правой части тоже равен $-3$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $8$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Справа также есть степень с неизвестным. Поскольку $9=3^2$, при возведении степени в степень умножаем показатели: $$9^{2x}=(3^2)^{2x}=3^{4x}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x+6=4x$$ Вычтем из обеих частей слагаемое с $x$, стоящее справа: $$(1-4)x+6=0$$ $$-3x+6=0$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-3x+6=0$$ Вычтем $6$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-3x=0-6=-6$$ Разделим обе части на коэффициент $-3$ перед $x$: $$x=\frac{-6}{-3}=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot2+6=2+6=8$$ Показатель справа тоже вычислим после подстановки: $$4\cdot2+0=8+0=8$$ Показатель правой части тоже равен $8$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $3$. Последовательно умножаем на основание: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ $$3^{4}=27\cdot3=81$$ $$3^{4}=81$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x+2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+2=4$$ Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=4-2=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot2+2=2+2=4$$ Показатель правой части тоже равен $4$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $8$. Последовательно умножаем на основание: $$8^{2}=8\cdot8=64$$ $$8^{2}=64$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+9=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+9=2$$ Вычтем $9$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2-9=-7$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-7}{-1}=7$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot7+9=-7+9=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $8$ обе части совпадают. Ответ: $7$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{6}=6^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(6^{-1})^{x-2}=6^{-( x-2 )}=6^{-x+2}$$ Справа также есть степень с неизвестным. Её показатель оставляем в виде линейного выражения: $$6^{x}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+2=x$$ Вычтем из обеих частей слагаемое с $x$, стоящее справа: $$(-1-1)x+2=0$$ $$-2x+2=0$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-2x+2=0$$ Вычтем $2$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-2x=0-2=-2$$ Разделим обе части на коэффициент $-2$ перед $x$: $$x=\frac{-2}{-2}=1$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot1+2=-1+2=1$$ Показатель справа тоже вычислим после подстановки: $$1\cdot1+0=1+0=1$$ Показатель правой части тоже равен $1$. Значит, после приведения к основанию $6$ обе части совпадают. Ответ: $1$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $2$. Последовательно умножаем на основание: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ $$2^{3}=4\cdot2=8$$ $$2^{4}=8\cdot2=16$$ $$2^{5}=16\cdot2=32$$ $$2^{5}=32$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+11=5$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+11=5$$ Вычтем $11$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=5-11=-6$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-6}{-1}=6$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot6+11=-6+11=5$$ Показатель правой части тоже равен $5$. Значит, после приведения к основанию $2$ обе части совпадают. Ответ: $6$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$3^{-3}=\frac1{3^{3}}=\frac1{27}=\frac{1}{27}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-5=-3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-5=-3$$ Прибавим $5$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-3+5=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot2-5=2-5=-3$$ Показатель правой части тоже равен $-3$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{3}=25\cdot5=125$$ $$5^{3}=125$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-2=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-2=3$$ Прибавим $2$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=3+2=5$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot5-2=5-2=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $5$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{7}=7^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(7^{-1})^{x+4}=7^{-( x+4 )}=7^{-x-4}$$ Представим числовую правую часть как степень основания $7$. Последовательно умножаем на основание: $$7^{2}=7\cdot7=49$$ $$7^{2}=49$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x-4=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x-4=2$$ Прибавим $4$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2+4=6$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{6}{-1}=-6$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot(-6)-4=6-4=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $7$ обе части совпадают. Ответ: $-6$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $3$. Последовательно умножаем на основание: $$3^{2}=3\cdot3=9$$ $$3^{3}=9\cdot3=27$$ $$3^{3}=27$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+15=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+15=3$$ Вычтем $15$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=3-15=-12$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-12}{-1}=12$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot12+15=-12+15=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $12$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{5}=5^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(5^{-1})^{x-5}=5^{-( x-5 )}=5^{-x+5}$$ Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{3}=25\cdot5=125$$ $$5^{3}=125$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+5=3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+5=3$$ Вычтем $5$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=3-5=-2$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-2}{-1}=2$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot2+5=-2+5=3$$ Показатель правой части тоже равен $3$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $2$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $5$. Последовательно умножаем на основание: $$5^{2}=5\cdot5=25$$ $$5^{2}=25$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+11=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+11=2$$ Вычтем $11$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2-11=-9$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-9}{-1}=9$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot9+11=-9+11=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $5$ обе части совпадают. Ответ: $9$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $2$. Последовательно умножаем на основание: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ $$2^{3}=4\cdot2=8$$ $$2^{4}=8\cdot2=16$$ $$2^{4}=16$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x-4=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x-4=4$$ Прибавим $4$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=4+4=8$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{8}{-1}=-8$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot(-8)-4=8-4=4$$ Показатель правой части тоже равен $4$. Значит, после приведения к основанию $2$ обе части совпадают. Ответ: $-8$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $6$. Последовательно умножаем на основание: $$6^{2}=6\cdot6=36$$ $$6^{2}=36$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-5=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-5=2$$ Прибавим $5$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=2+5=7$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot7-5=7-5=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $6$ обе части совпадают. Ответ: $7$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$2^{2}=2\cdot2=4$$ $$2^{3}=4\cdot2=8$$ $$2^{4}=8\cdot2=16$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$2^{-4}=\frac1{2^{4}}=\frac1{16}=\frac{1}{16}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-3=-4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-3=-4$$ Прибавим $3$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-4+3=-1$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot(-1)-3=-1-3=-4$$ Показатель правой части тоже равен $-4$. Значит, после приведения к основанию $2$ обе части совпадают. Ответ: $-1$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Представим числовую правую часть как степень основания $7$. Последовательно умножаем на основание: $$7^{2}=7\cdot7=49$$ $$7^{2}=49$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+11=2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+11=2$$ Вычтем $11$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=2-11=-9$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-9}{-1}=9$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot9+11=-9+11=2$$ Показатель правой части тоже равен $2$. Значит, после приведения к основанию $7$ обе части совпадают. Ответ: $9$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{6}=6^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(6^{-1})^{x-3}=6^{-( x-3 )}=6^{-x+3}$$ Сначала вычислим положительную степень основания: $$6^{2}=6\cdot6=36$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$6^{-2}=\frac1{6^{2}}=\frac1{36}=\frac{1}{36}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+3=-2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+3=-2$$ Вычтем $3$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=-2-3=-5$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-5}{-1}=5$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot5+3=-5+3=-2$$ Показатель правой части тоже равен $-2$. Значит, после приведения к основанию $6$ обе части совпадают. Ответ: $5$.

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Сначала вычислим положительную степень основания: $$4^{2}=4\cdot4=16$$ $$4^{3}=16\cdot4=64$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$4^{-3}=\frac1{4^{3}}=\frac1{64}=\frac{1}{64}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$x-7=-3$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x-7=-3$$ Прибавим $7$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=-3+7=4$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$1\cdot4-7=4-7=-3$$ Показатель правой части тоже равен $-3$. Значит, после приведения к основанию $4$ обе части совпадают. Ответ: $4$.