Найдите корень уравнения ${3}^{x + 6} ={9}^{2x}$.
Ответ: 2
Решение
Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием.
Справа также есть степень с неизвестным. Поскольку $9=3^2$, при возведении степени в степень умножаем показатели:
$$9^{2x}=(3^2)^{2x}=3^{4x}$$
У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели:
$$x+6=4x$$
Вычтем из обеих частей слагаемое с $x$, стоящее справа:
$$(1-4)x+6=0$$
$$-3x+6=0$$
Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени:
$$-3x+6=0$$
Вычтем $6$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно:
$$-3x=0-6=-6$$
Разделим обе части на коэффициент $-3$ перед $x$:
$$x=\frac{-6}{-3}=2$$
Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$:
$$1\cdot2+6=2+6=8$$
Показатель справа тоже вычислим после подстановки:
$$4\cdot2+0=8+0=8$$
Показатель правой части тоже равен $8$. Значит, после приведения к основанию $3$ обе части совпадают. Ответ: $2$.