Иррациональные уравнения — задание №6 ЕГЭ по математике

Нужно найти число $x$ под кубическим корнем. Возведение в третью степень отменяет извлечение кубического корня. Эта операция допустима для любых действительных чисел. $$(\sqrt[3]{x+6})^3=4^3$$ $$4^3=4\cdot4\cdot4=16\cdot4=64$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+6=64$$ Вычтем $6$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=64-6=58$$ Проверим подстановкой в исходное уравнение: $$\sqrt[3]{58+6}=\sqrt[3]{64}=4$$ Ответ: $58$. Другого действительного корня нет, поскольку куб каждого действительного числа определяется однозначно.

Нужно найти число $x$ под кубическим корнем. Возведение в третью степень отменяет извлечение кубического корня. Эта операция допустима для любых действительных чисел. $$(\sqrt[3]{x+3})^3=3^3$$ $$3^3=3\cdot3\cdot3=9\cdot3=27$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$x+3=27$$ Вычтем $3$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$x=27-3=24$$ Проверим подстановкой в исходное уравнение: $$\sqrt[3]{24+3}=\sqrt[3]{27}=3$$ Ответ: $24$. Другого действительного корня нет, поскольку куб каждого действительного числа определяется однозначно.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-7x+99\ge0$$ Вычтем $99$ из обеих частей неравенства: $$-7x\ge-99$$ Разделим обе части на $-7$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-99}{-7}=\frac{99}{7}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-7x+99})^2=6^2$$ $$6^2=6\cdot6=36$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-7x+99=36$$ Вычтем $99$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-7x=36-99=-63$$ Разделим обе части на коэффициент $-7$ перед $x$: $$x=\frac{-63}{-7}=9$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-7)\cdot9+99=-63+99=36$$ $$\sqrt{36}=6$$ Подкоренное выражение $36$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $9$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$9x-47\ge0$$ Прибавим $47$ к обеим частям неравенства: $$9x\ge47$$ Разделим обе части на $9$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{47}{9}=\frac{47}{9}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{9x-47})^2=4^2$$ $$4^2=4\cdot4=16$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$9x-47=16$$ Прибавим $47$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$9x=16+47=63$$ Разделим обе части на коэффициент $9$ перед $x$: $$x=\frac{63}{9}=7$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$9\cdot7-47=63-47=16$$ $$\sqrt{16}=4$$ Подкоренное выражение $16$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $7$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-4x+36\ge0$$ Вычтем $36$ из обеих частей неравенства: $$-4x\ge-36$$ Разделим обе части на $-4$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-36}{-4}=9$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-4x+36})^2=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-4x+36=4$$ Вычтем $36$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-4x=4-36=-32$$ Разделим обе части на коэффициент $-4$ перед $x$: $$x=\frac{-32}{-4}=8$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-4)\cdot8+36=-32+36=4$$ $$\sqrt{4}=2$$ Подкоренное выражение $4$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $8$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-5x+44\ge0$$ Вычтем $44$ из обеих частей неравенства: $$-5x\ge-44$$ Разделим обе части на $-5$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-44}{-5}=\frac{44}{5}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-5x+44})^2=3^2$$ $$3^2=3\cdot3=9$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-5x+44=9$$ Вычтем $44$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-5x=9-44=-35$$ Разделим обе части на коэффициент $-5$ перед $x$: $$x=\frac{-35}{-5}=7$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-5)\cdot7+44=-35+44=9$$ $$\sqrt{9}=3$$ Подкоренное выражение $9$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $7$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$5x-1\ge0$$ Прибавим $1$ к обеим частям неравенства: $$5x\ge1$$ Разделим обе части на $5$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{5x-1})^2=7^2$$ $$7^2=7\cdot7=49$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$5x-1=49$$ Прибавим $1$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$5x=49+1=50$$ Разделим обе части на коэффициент $5$ перед $x$: $$x=\frac{50}{5}=10$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$5\cdot10-1=50-1=49$$ $$\sqrt{49}=7$$ Подкоренное выражение $49$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $10$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-7x+57\ge0$$ Вычтем $57$ из обеих частей неравенства: $$-7x\ge-57$$ Разделим обе части на $-7$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-57}{-7}=\frac{57}{7}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-7x+57})^2=6^2$$ $$6^2=6\cdot6=36$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-7x+57=36$$ Вычтем $57$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-7x=36-57=-21$$ Разделим обе части на коэффициент $-7$ перед $x$: $$x=\frac{-21}{-7}=3$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-7)\cdot3+57=-21+57=36$$ $$\sqrt{36}=6$$ Подкоренное выражение $36$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $3$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$7x-31\ge0$$ Прибавим $31$ к обеим частям неравенства: $$7x\ge31$$ Разделим обе части на $7$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{31}{7}=\frac{31}{7}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{7x-31})^2=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$7x-31=4$$ Прибавим $31$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$7x=4+31=35$$ Разделим обе части на коэффициент $7$ перед $x$: $$x=\frac{35}{7}=5$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$7\cdot5-31=35-31=4$$ $$\sqrt{4}=2$$ Подкоренное выражение $4$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $5$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-9x+63\ge0$$ Вычтем $63$ из обеих частей неравенства: $$-9x\ge-63$$ Разделим обе части на $-9$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-63}{-9}=7$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-9x+63})^2=3^2$$ $$3^2=3\cdot3=9$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-9x+63=9$$ Вычтем $63$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-9x=9-63=-54$$ Разделим обе части на коэффициент $-9$ перед $x$: $$x=\frac{-54}{-9}=6$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-9)\cdot6+63=-54+63=9$$ $$\sqrt{9}=3$$ Подкоренное выражение $9$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $6$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$5x+11\ge0$$ Вычтем $11$ из обеих частей неравенства: $$5x\ge-11$$ Разделим обе части на $5$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{-11}{5}=-\frac{11}{5}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{5x+11})^2=4^2$$ $$4^2=4\cdot4=16$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$5x+11=16$$ Вычтем $11$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$5x=16-11=5$$ Разделим обе части на коэффициент $5$ перед $x$: $$x=\frac{5}{5}=1$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$5\cdot1+11=5+11=16$$ $$\sqrt{16}=4$$ Подкоренное выражение $16$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $1$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$3x+49\ge0$$ Вычтем $49$ из обеих частей неравенства: $$3x\ge-49$$ Разделим обе части на $3$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{-49}{3}=-\frac{49}{3}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{3x+49})^2=10^2$$ $$10^2=10\cdot10=100$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$3x+49=100$$ Вычтем $49$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$3x=100-49=51$$ Разделим обе части на коэффициент $3$ перед $x$: $$x=\frac{51}{3}=17$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$3\cdot17+49=51+49=100$$ $$\sqrt{100}=10$$ Подкоренное выражение $100$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $17$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$6x+57\ge0$$ Вычтем $57$ из обеих частей неравенства: $$6x\ge-57$$ Разделим обе части на $6$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{-57}{6}=-\frac{19}{2}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{6x+57})^2=9^2$$ $$9^2=9\cdot9=81$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$6x+57=81$$ Вычтем $57$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$6x=81-57=24$$ Разделим обе части на коэффициент $6$ перед $x$: $$x=\frac{24}{6}=4$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$6\cdot4+57=24+57=81$$ $$\sqrt{81}=9$$ Подкоренное выражение $81$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $4$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-2x+76\ge0$$ Вычтем $76$ из обеих частей неравенства: $$-2x\ge-76$$ Разделим обе части на $-2$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-76}{-2}=38$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-2x+76})^2=8^2$$ $$8^2=8\cdot8=64$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-2x+76=64$$ Вычтем $76$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-2x=64-76=-12$$ Разделим обе части на коэффициент $-2$ перед $x$: $$x=\frac{-12}{-2}=6$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-2)\cdot6+76=-12+76=64$$ $$\sqrt{64}=8$$ Подкоренное выражение $64$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $6$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$-3x+22\ge0$$ Вычтем $22$ из обеих частей неравенства: $$-3x\ge-22$$ Разделим обе части на $-3$. Это отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. $$x\le\frac{-22}{-3}=\frac{22}{3}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{-3x+22})^2=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-3x+22=4$$ Вычтем $22$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-3x=4-22=-18$$ Разделим обе части на коэффициент $-3$ перед $x$: $$x=\frac{-18}{-3}=6$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$(-3)\cdot6+22=-18+22=4$$ $$\sqrt{4}=2$$ Подкоренное выражение $4$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $6$.

В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число. Область допустимых значений: $$8x-20\ge0$$ Прибавим $20$ к обеим частям неравенства: $$8x\ge20$$ Разделим обе части на $8$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется. $$x\ge\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$$ Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя: $$(\sqrt{8x-20})^2=2^2$$ $$2^2=2\cdot2=4$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$8x-20=4$$ Прибавим $20$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$8x=4+20=24$$ Разделим обе части на коэффициент $8$ перед $x$: $$x=\frac{24}{8}=3$$ Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение: $$8\cdot3-20=24-20=4$$ $$\sqrt{4}=2$$ Подкоренное выражение $4$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $3$.