Найдите корень уравнения $\sqrt{5x+11}=4.$
Ответ: $1$.
Решение
В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число.
Область допустимых значений:
$$5x+11\ge0$$
Вычтем $11$ из обеих частей неравенства:
$$5x\ge-11$$
Разделим обе части на $5$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется.
$$x\ge\frac{-11}{5}=-\frac{11}{5}$$
Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя:
$$(\sqrt{5x+11})^2=4^2$$
$$4^2=4\cdot4=16$$
Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени:
$$5x+11=16$$
Вычтем $11$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно:
$$5x=16-11=5$$
Разделим обе части на коэффициент $5$ перед $x$:
$$x=\frac{5}{5}=1$$
Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение:
$$5\cdot1+11=5+11=16$$
$$\sqrt{16}=4$$
Подкоренное выражение $16$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $1$.