Найдите корень уравнения $\sqrt{5x-1}=7.$
Ответ: $10$.
Решение
В уравнении неизвестное находится под квадратным корнем. Чтобы убрать корень, возведём обе части в квадрат. Перед этим учитываем: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а справа стоит неотрицательное число.
Область допустимых значений:
$$5x-1\ge0$$
Прибавим $1$ к обеим частям неравенства:
$$5x\ge1$$
Разделим обе части на $5$. Это положительное число, знак неравенства сохраняется.
$$x\ge\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$$
Квадрат неотрицательного квадратного корня равен подкоренному выражению. Квадрат правой части посчитаем как произведение числа на себя:
$$(\sqrt{5x-1})^2=7^2$$
$$7^2=7\cdot7=49$$
Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени:
$$5x-1=49$$
Прибавим $1$ к обеим частям, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно:
$$5x=49+1=50$$
Разделим обе части на коэффициент $5$ перед $x$:
$$x=\frac{50}{5}=10$$
Проверим исходное уравнение: после возведения в квадрат такая проверка защищает от посторонних корней. Подставим найденное число в подкоренное выражение:
$$5\cdot10-1=50-1=49$$
$$\sqrt{49}=7$$
Подкоренное выражение $49$ неотрицательно, левая часть равна правой. Ответ: $10$.