Задание №16 ЕГЭ по математике: Экономические задачи

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{25}{100}=0{,}75.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}75=0{,}75S.$$ $$D_2=0{,}75S\cdot 0{,}75=0{,}5625S.$$ $$D_3=0{,}5625S\cdot 0{,}75=0{,}421875S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}75+0{,}5625+0{,}421875)S=2{,}734375S.$$ Начисленные проценты и сумма выплат: $$I=\frac{25}{100}\cdot 2{,}734375S=0{,}68359375S,$$ $$V=S+I=S+0{,}68359375S=1{,}68359375S.$$ По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент: $$1{,}68359375S=53875,$$ $$S=\frac{53875}{1{,}68359375}=32000.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=32000\cdot 1{,}25-24000=40000-24000=16000.$$ $$P_2=24000\cdot 1{,}25-18000=30000-18000=12000.$$ $$P_3=18000\cdot 1{,}25-13500=22500-13500=9000.$$ $$P_4=13500\cdot 1{,}25-0=16875-0=16875.$$ $$V=16000+12000+9000+16875=53875.$$ Ответ: 32000 тыс. рублей.

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в миллионах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}1S-S=(1{,}1-1)S=0{,}1S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}1S=0{,}3S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}1S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}1(1{,}1S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}21S-1{,}1P-P=0,$$ $$1{,}21S-(1{,}1+1)P=0,$$ $$1{,}21S=2{,}1P.$$ Делим на положительное число 2,1: $$P=\frac{1{,}21}{2{,}1}S=\frac{121}{210}S.$$ Сложим три первых и два последних платежа: $$V=0{,}3S+2\cdot\frac{121}{210}S=(0{,}3+\frac{121}{105})S=\frac{61}{42}S.$$ Общая выплата должна быть строго меньше указанного порога: $$\frac{61}{42}S<6.$$ Делим на положительный коэффициент; знак не меняется: $$S<\frac{6}{\frac{61}{42}}=\frac{252}{61}.$$ По условию число миллионов целое. Проверяем наибольшее целое число ниже этой границы и следующее за ним: $$S=4:\quad V=\frac{61}{42}\cdot4=\frac{122}{21}<6,$$ $$S=5:\quad V=\frac{61}{42}\cdot5=\frac{305}{42}>6.$$ При ещё большем кредите выплаты только увеличатся, потому что коэффициент положительный. Ответ: 4 млн рублей.

Здесь первые три года долг не уменьшается, а затем закрывается за два года. Рассмотрим эти этапы отдельно. Все суммы — в миллионах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Ежегодный множитель начисления процентов: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ В первые три года после платежа опять должен остаться долг $S$. Значит, платёж покрывает только прибавившиеся проценты. Каждый из первых трёх платежей равен: $$P_{\text{перв}}=1{,}2S-S=(1{,}2-1)S=0{,}2S.$$ За эти три года вместе выплачивают: $$3P_{\text{перв}}=3\cdot0{,}2S=0{,}6S.$$ Обозначим два последних равных платежа через $P$. Перед ними основной долг всё ещё равен $S$. После четвёртого платежа остаток: $$D_4=1{,}2S-P.$$ В пятом году на весь этот остаток начислят проценты, затем вычтут ещё $P$. Долг погасится полностью: $$1{,}2(1{,}2S-P)-P=0.$$ Раскрываем скобки и объединяем два слагаемых с платежом: $$1{,}44S-1{,}2P-P=0,$$ $$1{,}44S-(1{,}2+1)P=0,$$ $$1{,}44S=2{,}2P.$$ Делим на положительное число 2,2: $$P=\frac{1{,}44}{2{,}2}S=\frac{36}{55}S.$$ Сложим три первых и два последних платежа: $$V=0{,}6S+2\cdot\frac{36}{55}S=(0{,}6+\frac{72}{55})S=\frac{21}{11}S.$$ Общая выплата должна быть строго меньше указанного порога: $$\frac{21}{11}S<7.$$ Делим на положительный коэффициент; знак не меняется: $$S<\frac{7}{\frac{21}{11}}=\frac{11}{3}.$$ По условию число миллионов целое. Проверяем наибольшее целое число ниже этой границы и следующее за ним: $$S=3:\quad V=\frac{21}{11}\cdot3=\frac{63}{11}<7,$$ $$S=4:\quad V=\frac{21}{11}\cdot4=\frac{84}{11}>7.$$ При ещё большем кредите выплаты только увеличатся, потому что коэффициент положительный. Ответ: 3 млн рублей.

Нужно восстановить первоначальный кредит. Считаем суммы в тысячах рублей. Удобно двигаться от последнего платежа назад: если при движении вперёд долг умножали на коэффициент и вычитали платёж, при движении назад сначала прибавляем платёж, затем делим на коэффициент. Коэффициент начисления процентов: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ После последнего платежа долг равен нулю. Значит, до этого платежа, уже с начисленными процентами, долг равен самому платежу. Чтобы убрать последнее начисление, делим на коэффициент: $$D_2=\frac{417{,}6}{1{,}2}=348.$$ Это остаток после второго платежа. Прибавляем второй платёж, восстанавливая сумму до его вычитания: $$348+300=648.$$ Теперь убираем начисление процентов второго года: $$D_1=\frac{648}{1{,}2}=540.$$ Перед первым платежом долг был больше остатка на величину этого платежа: $$540+300=840.$$ Убираем первое начисление процентов и получаем исходный кредит: $$S=\frac{840}{1{,}2}=700.$$ Проверим в прямом порядке: $$700\cdot1{,}2-300=840-300=540,$$ $$540\cdot1{,}2-300=648-300=348,$$ $$348\cdot1{,}2-417{,}6=417{,}6-417{,}6=0.$$ Ответ: 700 тыс. рублей.

Нужно разобраться в двух этапах погашения: первые пять лет долг уменьшается одним шагом, следующие пять — другим. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим кредит через $S$, а остаток после пяти лет — через $D$. В первые пять лет надо уменьшить долг с $S$ до $D$. За каждый год основной долг уменьшается на: $$a=\frac{S-D}{5}.$$ В следующие пять лет надо уменьшить долг с $D$ до нуля. Поэтому второй шаг: $$b=\frac D5.$$ Чтобы найти все проценты, выпишем долги перед начислением. В первой пятилетке это: $$S,\quad S-a,\quad S-2a,\quad S-3a,\quad S-4a.$$ Сложим отдельно пять одинаковых слагаемых $S$ и коэффициенты при $a$: $$B_1=5S-(0+1+2+3+4)a=5S-10a.$$ Подставляем шаг первого этапа, сокращаем 10/5 и раскрываем скобки: $$B_1=5S-10\cdot\frac{S-D}{5}=5S-2(S-D)$$ $$B_1=5S-2S+2D=3S+2D.$$ Во второй пятилетке основной долг перед начислениями равен $5b,4b,3b,2b,b$. Их сумма: $$B_2=(5+4+3+2+1)b=15b=15\cdot\frac D5=3D.$$ Складываем обе базы процентов: $$B=B_1+B_2=3S+2D+3D=3S+5D.$$ За весь срок банк получает обратно сам кредит и проценты. По ставке $r$ % проценты равны $r/100$ от суммы всех остатков. Получаем: $$T=S+\frac r{100}(3S+5D).$$ Кредит и ставка известны. Подставляем их, раскрываем скобки и находим остаток $D$: $$2120=1400+0{,}1(3\cdot1400+5D)$$ $$2120=1820+0{,}5D.$$ Вычитаем постоянное слагаемое из обеих частей, затем делим на коэффициент: $$0{,}5D=2120-1820=300,$$ $$D=\frac{300}{0{,}5}=600.$$ Теперь вычислим два шага уменьшения: $$a=\frac{1400-600}{5}=\frac{800}{5}=160,$$ $$b=\frac{600}{5}=120.$$ Первый платёж состоит из процентов на весь кредит и первого уменьшения основного долга: $$P_1=\frac{10}{100}\cdot1400+160=140+160=300.$$ Перед последним годом остаётся один шаг второго этапа. Последний платёж погашает его вместе с процентами: $$P_{10}=120\left(1+\frac{10}{100}\right)=120\cdot1{,}1=132.$$ Проверка общей суммы процентов и выплат: $$1400+\frac{10}{100}\cdot7200=1400+720=2120.$$ Ответ: 300000 рублей.

Нужно распределить производство между двумя заводами так, чтобы при данном бюджете получить как можно больше товара. Обозначим выпуск первого завода через $u$, второго через $v$. По смыслу $u,v\ge0$. Если изготовлено $u$ единиц, затрачено $u^2$ часов; аналогично второй завод затрачивает $v^2$ часов. Умножаем часы на стоимость одного часа. Общие расходы: $$C=200u^2+300v^2.$$ Обозначим весь выпуск через $S=u+v$. Тогда $v=S-u$. Подставим это вместо $v$, чтобы получить выражение с одной переменной $u$ при заданном общем выпуске: $$C=200u^2+300(S-u)^2.$$ Раскрываем квадрат разности и скобки: $$(S-u)^2=S^2-2Su+u^2,$$ $$C=200u^2+300S^2-600Su+300u^2$$ $$C=500u^2-600Su+300S^2.$$ Выделим полный квадрат: он неотрицателен и позволит получить нижнюю границу расходов. Выносим 500 из первых двух членов: $$C=500(u^2-1{,}2Su)+300S^2.$$ Чтобы получить квадрат $(u-0{,}6S)^2$, нужно добавить $0{,}36S^2$; затем вычесть добавленное: $$C=500\bigl((u-0{,}6S)^2-0{,}36S^2\bigr)+300S^2$$ $$C=500(u-0{,}6S)^2-180S^2+300S^2$$ $$C=500(u-0{,}6S)^2+120S^2.$$ Первое слагаемое неотрицательно. При любом распределении выпуска расходы не меньше $120S^2$. Бюджет ограничен 1200000, поэтому: $$120S^2\le1200000.$$ Делим на 120. Так как общий выпуск неотрицателен, берём положительный корень: $$S^2\le10000,\qquad0\le S\le100.$$ Нужно доказать, что 100 единиц действительно можно выпустить. Для равенства квадрат должен быть нулевым. При $S=100$ выбираем: $$u=0{,}6\cdot100=60,\qquad v=100-60=40.$$ Проверяем бюджет: $$200\cdot60^2+300\cdot40^2=200\cdot3600+300\cdot1600$$ $$C=720000+480000=1200000.$$ Граница достигнута: выпускается $60+40=100$ единиц ровно в рамках бюджета. Ответ: 100.

Нужно восстановить первоначальный кредит. Считаем суммы в тысячах рублей. Удобно двигаться от последнего платежа назад: если при движении вперёд долг умножали на коэффициент и вычитали платёж, при движении назад сначала прибавляем платёж, затем делим на коэффициент. Коэффициент начисления процентов: $$q=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$ Сначала из общей выплаты вычитаем первые два известных платежа: $$R=1235{,}2-500-500=735{,}2-500=235{,}2.$$ После последнего платежа долг равен нулю. Значит, до этого платежа, уже с начисленными процентами, долг равен самому платежу. Чтобы убрать последнее начисление, делим на коэффициент: $$D_2=\frac{235{,}2}{1{,}2}=196.$$ Это остаток после второго платежа. Прибавляем второй платёж, восстанавливая сумму до его вычитания: $$196+500=696.$$ Теперь убираем начисление процентов второго года: $$D_1=\frac{696}{1{,}2}=580.$$ Перед первым платежом долг был больше остатка на величину этого платежа: $$580+500=1080.$$ Убираем первое начисление процентов и получаем исходный кредит: $$S=\frac{1080}{1{,}2}=900.$$ Проверим в прямом порядке: $$900\cdot1{,}2-500=1080-500=580,$$ $$580\cdot1{,}2-500=696-500=196,$$ $$196\cdot1{,}2-235{,}2=235{,}2-235{,}2=0.$$ Ответ: 900 тыс. рублей.

Нужно найти срок кредита. Все суммы считаем в миллионах рублей. Обозначим неизвестное число лет через $n$. Так как основной долг уменьшается каждый год на одинаковую величину и в конце равен нулю, эта величина равна: $$d=\frac{10}{n}.$$ Перед первым начислением процентов долг равен всему кредиту, перед вторым — кредиту минус $d$, перед последним — только $d$. Получаем $n$ остатков: $$10,\quad 10-d,\quad 10-2d,\quad\ldots,\quad d.$$ Это арифметическая прогрессия. Сумму найдём по формуле: число членов умножить на полусумму первого и последнего. Подставляем $d$ и раскрываем произведение: $$B=\frac{n(10+d)}2=\frac{n(10+\frac{10}{n})}2$$ $$B=\frac{10n+10}2=\frac{10(n+1)}2.$$ Все выплаты состоят из возвращения исходного кредита и начисленных процентов. Переплата по условию равна: $$I=15-10=5.$$ Ставка 10 % означает множитель 0,1 при сумме остатков. Составляем уравнение: $$0{,}1\cdot\frac{10(n+1)}2=5,$$ Вычисляем коэффициент: $$0{,}5(n+1)=5.$$ Делим на положительный коэффициент, затем вычитаем единицу: $$n+1=\frac{5}{0{,}5}=10,$$ $$n=10-1=9.$$ Проверяем найденный срок: $$10+0{,}1\cdot\frac{10(9+1)}2=10+5=15.$$ Получилось положительное целое число лет, а общая выплата совпадает с условием. Ответ: 9 лет.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 24 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{24}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 13-го по 24-й включительно. Всего их: $$24-13+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{24}=0{,}5A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$78d=78\cdot\frac A{24}=3{,}25A.$$ При ставке 3 % с каждого рубля начисляют $3/100$ рубля процентов. За выбранный год проценты составят: $$I=\frac{3}{100}\cdot 3{,}25A=0{,}0975A.$$ Прибавляем возвращаемый основной долг к процентам: $$V=0{,}5A+0{,}0975A=0{,}5975A.$$ Сумму из условия переводим из тысяч в миллионы делением на 1000: $$\frac{17925}{1000}=17{,}925.$$ Приравниваем найденное выражение к этой сумме и делим обе части на коэффициент при $A$: $$0{,}5975A=17{,}925,$$ $$A=\frac{17{,}925}{0{,}5975}=30.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$15+97{,}5\cdot\frac{3}{100}=15+2{,}925=17{,}925.$$ Ответ: 30 млн рублей.

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{10}{100}=0{,}9.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}9=0{,}9S.$$ $$D_2=0{,}9S\cdot 0{,}9=0{,}81S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}9+0{,}81)S=2{,}71S.$$ Кредит известен. Подставляем его в сумму остатков: $$B=2{,}71\cdot 12000=32520.$$ Вычитаем кредит из общей выплаты, получая сумму процентов: $$I=13626-12000=1626.$$ Составляем уравнение для ставки. Умножаем на 100, затем делим на сумму остатков: $$32520\cdot\frac r{100}=1626,$$ $$32520r=162600,$$ $$r=\frac{162600}{32520}=5.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=12000\cdot 1{,}05-10800=12600-10800=1800.$$ $$P_2=10800\cdot 1{,}05-9720=11340-9720=1620.$$ $$P_3=9720\cdot 1{,}05-0=10206-0=10206.$$ $$V=1800+1620+10206=13626.$$ Ответ: 5 %.

Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда: $$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$ Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$: $$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$ Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего: $$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому: $$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ Конечный остаток и число уменьшений известны. Раскрываем скобки в базе процентов: $$B=\frac{11(S+300)}{2}=5{,}5S+1650.$$ Подставляем базу в уравнение всех выплат: $$1388=S+0{,}01(5{,}5S+1650)$$ $$1388=1{,}055S+16{,}5.$$ Переносим постоянную часть и делим на коэффициент при кредите: $$1{,}055S=1388-(16{,}5)=1371{,}5,$$ $$S=\frac{1371{,}5}{1{,}055}=1300.$$ Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии: $$d=\frac{1300-300}{10}=100,$$ $$S-d=1300-100=1200,$$ $$S-10d=1300-1000=300.$$ Сумма выплат после подстановки: $$1300+0{,}01\cdot\frac{11(1300+300)}{2}=1300+88=1388.$$ Ответ: 1300000 рублей. Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 36 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{36}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 25-го по 36-й включительно. Всего их: $$36-25+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{36}=\frac{1}{3}A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$78d=78\cdot\frac A{36}=\frac{13}{6}A.$$ Подставляем известный кредит и вычисляем размер ежемесячного уменьшения: $$d=\frac{27}{36}=0{,}75.$$ Основной долг, возвращённый за год: $$12\cdot 0{,}75=9.$$ Проценты за год: $$I=\frac{3}{100}\cdot 78\cdot 0{,}75=0{,}03\cdot 58{,}5=1{,}755.$$ Складываем обе части платежей и переводим миллионы в рубли: $$V=9+1{,}755=10{,}755,$$ $$10{,}755\cdot1000000=10755000.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$9+58{,}5\cdot\frac{3}{100}=9+1{,}755=10{,}755.$$ Ответ: 10755000 рублей.

Нужно найти наименьший первоначальный вклад. Считаем деньги в миллионах рублей. Обозначим начальную сумму через $P$. По условию $P$ — целое число. Каждый год вклад увеличивается на 10 %, поэтому умножается на $1+10/100=1{,}1$. Составим сумму по годам, соблюдая порядок: пополнение в начале года, проценты в конце. После первого и второго годов: $$A_1=1{,}1P,$$ $$A_2=1{,}1\cdot1{,}1P=1{,}21P.$$ В начале третьего года добавляем 3, затем начисляем проценты на всю сумму. Раскрываем скобки: $$A_3=(1{,}21P+3)\cdot1{,}1=1{,}331P+3{,}3.$$ В начале четвёртого года добавляем ещё 3 и опять умножаем весь вклад на 1,1: $$A_4=(1{,}331P+3{,}3+3)\cdot1{,}1$$ $$A_4=(1{,}331P+6{,}3)\cdot1{,}1=1{,}4641P+6{,}93.$$ Требуется строго больше 20 миллионов. Вычитаем 6,93 из обеих частей: $$1{,}4641P+6{,}93>20,$$ $$1{,}4641P>20-6{,}93=13{,}07.$$ Проверим целые значения рядом с границей. Умножение на положительный коэффициент сохраняет порядок: $$1{,}4641\cdot8=11{,}7128<13{,}07,$$ $$1{,}4641\cdot9=13{,}1769>13{,}07.$$ Значит, 8 миллионов и меньшие суммы не подходят; 9 миллионов уже подходят. Проверка полной суммы: $$1{,}4641\cdot9+6{,}93=13{,}1769+6{,}93=20{,}1069>20.$$ Ответ: 9 млн рублей.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 36 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{36}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их: $$12-1+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$36d,\quad 35d,\quad 34d,\quad 33d,\quad 32d,\quad 31d,\quad 30d,\quad 29d,\quad 28d,\quad 27d,\quad 26d,\quad 25d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{36}=\frac{1}{3}A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$36+35+34+33+32+31+30+29+28+27+26+25=\frac{(36+25)\cdot 12}{2}=366.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$366d=366\cdot\frac A{36}=\frac{61}{6}A.$$ По условию кредит известен, поэтому найдём конкретные суммы: $$d=\frac{9}{36}=0{,}25,$$ $$V_{\text{долг}}=12\cdot0{,}25=3,$$ $$B=366\cdot 0{,}25=91{,}5.$$ Переводим известную выплату из тысяч в миллионы и вычитаем возвращённый основной долг. Остаток — проценты за этот год: $$V=\frac{4830}{1000}=4{,}83,$$ $$I=4{,}83-3=1{,}83.$$ Проценты равны $r/100$ от найденной базы. Составляем уравнение: $$91{,}5\cdot\frac r{100}=1{,}83.$$ Умножаем обе части на 100, затем делим на базу: $$91{,}5r=183,$$ $$r=\frac{183}{91{,}5}=2.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$3+91{,}5\cdot\frac{2}{100}=3+1{,}83=4{,}83.$$ Ответ: 2 %.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 60 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{60}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их: $$12-1+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$60d,\quad 59d,\quad 58d,\quad 57d,\quad 56d,\quad 55d,\quad 54d,\quad 53d,\quad 52d,\quad 51d,\quad 50d,\quad 49d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{60}=0{,}2A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$60+59+58+57+56+55+54+53+52+51+50+49=\frac{(60+49)\cdot 12}{2}=654.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$654d=654\cdot\frac A{60}=10{,}9A.$$ При ставке 2 % с каждого рубля начисляют $2/100$ рубля процентов. За выбранный год проценты составят: $$I=\frac{2}{100}\cdot 10{,}9A=0{,}218A.$$ Прибавляем возвращаемый основной долг к процентам: $$V=0{,}2A+0{,}218A=0{,}418A.$$ Сумму из условия переводим из тысяч в миллионы делением на 1000: $$\frac{2508}{1000}=2{,}508.$$ Приравниваем найденное выражение к этой сумме и делим обе части на коэффициент при $A$: $$0{,}418A=2{,}508,$$ $$A=\frac{2{,}508}{0{,}418}=6.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$1{,}2+65{,}4\cdot\frac{2}{100}=1{,}2+1{,}308=2{,}508.$$ Ответ: 6 млн рублей.

Нужно отделить равномерное уменьшение основного долга от последнего платежа, который закрывает весь оставшийся долг. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим первоначальный кредит через $S$, остаток после равномерных уменьшений через $D$, число этих уменьшений через $n$, а один шаг через $d$. Тогда: $$S-nd=D,\qquad d=\frac{S-D}{n}.$$ Проценты начисляются перед каждым платежом. Перед первым начислением долг равен $S$, перед последним — $D$. Между ними каждый раз вычитается $d$: $$S,\quad S-d,\quad S-2d,\quad\ldots,\quad S-nd=D.$$ Здесь $n+1$ число: нумерация начинается с нулевого уменьшения. Сумма арифметической прогрессии — число членов, умноженное на полусумму первого и последнего: $$B=\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ За весь срок вернут основной долг $S$ и проценты $r/100$ с базы $B$. Поэтому: $$T=S+\frac r{100}\cdot\frac{(n+1)(S+D)}2.$$ Вычислим базу процентов и саму переплату: $$B=\frac{16(1100+500)}{2}=12800,$$ $$I=1228-1100=128.$$ Ставка определяется уравнением процентов. Умножаем на 100 и делим на базу: $$12800\cdot\frac r{100}=128,$$ $$r=\frac{12800}{12800}=1.$$ Для проверки найдём шаг и перечислим начало и конец прогрессии: $$d=\frac{1100-500}{15}=40,$$ $$S-d=1100-40=1060,$$ $$S-15d=1100-600=500.$$ Сумма выплат после подстановки: $$1100+0{,}01\cdot\frac{16(1100+500)}{2}=1100+128=1228.$$ Ответ: 1 %. Число равномерных уменьшений и полный срок — разные величины: последний отдельный платёж увеличивает срок ещё на один месяц.

Нужно разобраться в двух этапах погашения: первые пять лет долг уменьшается одним шагом, следующие пять — другим. Считаем суммы в тысячах рублей. Обозначим кредит через $S$, а остаток после пяти лет — через $D$. В первые пять лет надо уменьшить долг с $S$ до $D$. За каждый год основной долг уменьшается на: $$a=\frac{S-D}{5}.$$ В следующие пять лет надо уменьшить долг с $D$ до нуля. Поэтому второй шаг: $$b=\frac D5.$$ Чтобы найти все проценты, выпишем долги перед начислением. В первой пятилетке это: $$S,\quad S-a,\quad S-2a,\quad S-3a,\quad S-4a.$$ Сложим отдельно пять одинаковых слагаемых $S$ и коэффициенты при $a$: $$B_1=5S-(0+1+2+3+4)a=5S-10a.$$ Подставляем шаг первого этапа, сокращаем 10/5 и раскрываем скобки: $$B_1=5S-10\cdot\frac{S-D}{5}=5S-2(S-D)$$ $$B_1=5S-2S+2D=3S+2D.$$ Во второй пятилетке основной долг перед начислениями равен $5b,4b,3b,2b,b$. Их сумма: $$B_2=(5+4+3+2+1)b=15b=15\cdot\frac D5=3D.$$ Складываем обе базы процентов: $$B=B_1+B_2=3S+2D+3D=3S+5D.$$ За весь срок банк получает обратно сам кредит и проценты. По ставке $r$ % проценты равны $r/100$ от суммы всех остатков. Получаем: $$T=S+\frac r{100}(3S+5D).$$ Остаток $D$ и ставка известны. Подставляем их в уравнение, раскрываем скобки и собираем слагаемые с $S$: $$T=S+0{,}2(3S+5\cdot600)$$ $$T=S+0{,}6S+600=1{,}6S+600,$$ $$2360=1{,}6S+600,$$ Вычитаем постоянное слагаемое и делим на коэффициент при кредите: $$1{,}6S=2360-600=1760,$$ $$S=\frac{1760}{1{,}6}=1100.$$ Теперь вычислим два шага уменьшения: $$a=\frac{1100-600}{5}=\frac{500}{5}=100,$$ $$b=\frac{600}{5}=120.$$ Первый платёж состоит из процентов на весь кредит и первого уменьшения основного долга: $$P_1=\frac{20}{100}\cdot1100+100=220+100=320.$$ Перед последним годом остаётся один шаг второго этапа. Последний платёж погашает его вместе с процентами: $$P_{10}=120\left(1+\frac{20}{100}\right)=120\cdot1{,}2=144.$$ Проверка общей суммы процентов и выплат: $$1100+\frac{20}{100}\cdot6300=1100+1260=2360.$$ Ответ: 1100 тыс. рублей.

Нужно найти первоначальную сумму кредита. Для этого проследим, как меняется долг после каждого начисления процентов и одинакового платежа. Все суммы ниже — в рублях. Обозначим исходный кредит через $S$, а один из 4 одинаковых платежей через $P$. При увеличении долга на 10 % к прежнему долгу прибавляют 10/100 его величины. Поэтому множитель начисления равен: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Каждый год сначала начисляются проценты, затем из полученной суммы вычитается платёж. Именно в таком порядке составляем выражения для остатков. После 1-го платежа остаток: $$D_1=1{,}1S-P.$$ Перед 2-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_2=1{,}1\bigl(1{,}1S-1P\bigr)-P$$ $$D_2=1{,}21S-1{,}1P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$1{,}1P+P=(1{,}1+1)P=2{,}1P,$$ $$D_2=1{,}21S-2{,}1P.$$ Перед 3-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_3=1{,}1\bigl(1{,}21S-2{,}1P\bigr)-P$$ $$D_3=1{,}331S-2{,}31P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$2{,}31P+P=(2{,}31+1)P=3{,}31P,$$ $$D_3=1{,}331S-3{,}31P.$$ Перед 4-м платежом весь предыдущий остаток умножается на 1,1. Затем вычитается ещё один платёж. Раскрываем скобки, умножая на каждое слагаемое: $$D_4=1{,}1\bigl(1{,}331S-3{,}31P\bigr)-P$$ $$D_4=1{,}4641S-3{,}641P-P$$ Собираем слагаемые с платежом: $$3{,}641P+P=(3{,}641+1)P=4{,}641P,$$ $$D_4=1{,}4641S-4{,}641P.$$ После последнего платежа кредит погашен полностью, то есть остаток равен нулю. Переносим слагаемое с платежом в правую часть: $$1{,}4641S-4{,}641P=0,$$ $$1{,}4641S=4{,}641P.$$ Общая выплата — 292820 рублей. Делим её на число одинаковых платежей: $$P=\frac{292820}{4}=73205.$$ Подставляем платёж в полученное равенство и делим обе части на коэффициент при $S$: $$1{,}4641S=4{,}641\cdot 73205=339744{,}405,$$ $$S=\frac{339744{,}405}{1{,}4641}=232050.$$ Проверим погашение прямым расчётом: в каждом году сначала увеличиваем оставшийся долг, затем вычитаем один и тот же платёж. Год 1: $$232050\cdot 1{,}1-73205=255255-73205=182050.$$ Год 2: $$182050\cdot 1{,}1-73205=200255-73205=127050.$$ Год 3: $$127050\cdot 1{,}1-73205=139755-73205=66550.$$ Год 4: $$66550\cdot 1{,}1-73205=73205-73205=0.$$ Получен нулевой остаток: долг закрыт в нужный срок. Сумма всех выплат: $$4P=4\cdot 73205=292820.$$ Ответ: 232050 рублей.

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 25-го года после этого пройдёт 25−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{25-t},\qquad t=1,2,\ldots,25.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{25-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(25-t-1)-(25-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По ставке из условия множитель одного начисления: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Проверяем переход к 21-му году и переход после него: $$R(20)=\frac{21^2}{1{,}1\cdot20^2}=\frac{441}{440}=\frac{441}{440}>1,$$ $$R(21)=\frac{22^2}{1{,}1\cdot21^2}=\frac{484}{485{,}1}=\frac{440}{441}<1.$$ Отношение $R(t)$ уменьшается. Поэтому на всех более ранних переходах оно ещё больше 1 — сумма растёт. На всех более поздних переходах оно уже меньше 1 — сумма падает. Значит, наибольшая сумма будет при продаже в конце 21-го года. Ответ: 21.

Нужно проследить, на какую сумму начисляются проценты в каждом году. Считаем деньги в тысячах рублей. Обозначим исходный кредит через $S$. Уменьшение «на определённый процент» означает, что остаётся прежний долг за вычетом этого процента. В этой задаче доля оставшегося долга: $$k=1-\frac{70}{100}=0{,}3.$$ После каждого из первых платежей умножаем предыдущий остаток на эту долю. Поэтому до начислений получаются следующие остатки: $$D_0=S.$$ $$D_1=1S\cdot 0{,}3=0{,}3S.$$ $$D_2=0{,}3S\cdot 0{,}3=0{,}09S.$$ Последний платёж погашает весь оставшийся долг. Всего основной долг возвращается один раз целиком. Всё сверх $S$ — проценты. Для их подсчёта сложим остатки перед начислениями: $$B=(1+0{,}3+0{,}09)S=1{,}39S.$$ Начисленные проценты и сумма выплат: $$I=\frac{20}{100}\cdot 1{,}39S=0{,}278S,$$ $$V=S+I=S+0{,}278S=1{,}278S.$$ По условию сумма выплат известна. Делим обе части уравнения на коэффициент: $$1{,}278S=11502,$$ $$S=\frac{11502}{1{,}278}=9000.$$ Проверим расчёт по отдельным платежам. Каждый платёж — долг после начисления процентов минус требуемый остаток после выплаты. $$P_1=9000\cdot 1{,}2-2700=10800-2700=8100.$$ $$P_2=2700\cdot 1{,}2-810=3240-810=2430.$$ $$P_3=810\cdot 1{,}2-0=972-0=972.$$ $$V=8100+2430+972=11502.$$ Ответ: 9000 тыс. рублей.