15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению
с концом предыдущего месяца;
$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$–$ к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составит 4830 тыс. рублей?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $2$.
Решение
Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей.
За 36 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга:
$$d=\frac A{36}.$$
Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их:
$$12-1+1=12.$$
Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги:
$$36d,\quad 35d,\quad 34d,\quad 33d,\quad 32d,\quad 31d,\quad 30d,\quad 29d,\quad 28d,\quad 27d,\quad 26d,\quad 25d.$$
Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут:
$$12d=12\cdot\frac A{36}=\frac{1}{3}A.$$
Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов:
$$36+35+34+33+32+31+30+29+28+27+26+25=\frac{(36+25)\cdot 12}{2}=366.$$
Значит, общая база начисления процентов:
$$366d=366\cdot\frac A{36}=\frac{61}{6}A.$$
По условию кредит известен, поэтому найдём конкретные суммы:
$$d=\frac{9}{36}=0{,}25,$$
$$V_{\text{долг}}=12\cdot0{,}25=3,$$
$$B=366\cdot 0{,}25=91{,}5.$$
Переводим известную выплату из тысяч в миллионы и вычитаем возвращённый основной долг. Остаток — проценты за этот год:
$$V=\frac{4830}{1000}=4{,}83,$$
$$I=4{,}83-3=1{,}83.$$
Проценты равны $r/100$ от найденной базы. Составляем уравнение:
$$91{,}5\cdot\frac r{100}=1{,}83.$$
Умножаем обе части на 100, затем делим на базу:
$$91{,}5r=183,$$
$$r=\frac{183}{91{,}5}=2.$$
Проверим согласованность сумм при найденных значениях:
$$3+91{,}5\cdot\frac{2}{100}=3+1{,}83=4{,}83.$$
Ответ: 2 %.