Дифференцированная схема — задание №16 ЕГЭ по математике

Нужно найти срок кредита. Все суммы считаем в миллионах рублей. Обозначим неизвестное число лет через $n$. Так как основной долг уменьшается каждый год на одинаковую величину и в конце равен нулю, эта величина равна: $$d=\frac{10}{n}.$$ Перед первым начислением процентов долг равен всему кредиту, перед вторым — кредиту минус $d$, перед последним — только $d$. Получаем $n$ остатков: $$10,\quad 10-d,\quad 10-2d,\quad\ldots,\quad d.$$ Это арифметическая прогрессия. Сумму найдём по формуле: число членов умножить на полусумму первого и последнего. Подставляем $d$ и раскрываем произведение: $$B=\frac{n(10+d)}2=\frac{n(10+\frac{10}{n})}2$$ $$B=\frac{10n+10}2=\frac{10(n+1)}2.$$ Все выплаты состоят из возвращения исходного кредита и начисленных процентов. Переплата по условию равна: $$I=15-10=5.$$ Ставка 10 % означает множитель 0,1 при сумме остатков. Составляем уравнение: $$0{,}1\cdot\frac{10(n+1)}2=5,$$ Вычисляем коэффициент: $$0{,}5(n+1)=5.$$ Делим на положительный коэффициент, затем вычитаем единицу: $$n+1=\frac{5}{0{,}5}=10,$$ $$n=10-1=9.$$ Проверяем найденный срок: $$10+0{,}1\cdot\frac{10(9+1)}2=10+5=15.$$ Получилось положительное целое число лет, а общая выплата совпадает с условием. Ответ: 9 лет.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 24 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{24}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 13-го по 24-й включительно. Всего их: $$24-13+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{24}=0{,}5A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$78d=78\cdot\frac A{24}=3{,}25A.$$ При ставке 3 % с каждого рубля начисляют $3/100$ рубля процентов. За выбранный год проценты составят: $$I=\frac{3}{100}\cdot 3{,}25A=0{,}0975A.$$ Прибавляем возвращаемый основной долг к процентам: $$V=0{,}5A+0{,}0975A=0{,}5975A.$$ Сумму из условия переводим из тысяч в миллионы делением на 1000: $$\frac{17925}{1000}=17{,}925.$$ Приравниваем найденное выражение к этой сумме и делим обе части на коэффициент при $A$: $$0{,}5975A=17{,}925,$$ $$A=\frac{17{,}925}{0{,}5975}=30.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$15+97{,}5\cdot\frac{3}{100}=15+2{,}925=17{,}925.$$ Ответ: 30 млн рублей.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 36 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{36}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 25-го по 36-й включительно. Всего их: $$36-25+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{36}=\frac{1}{3}A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$78d=78\cdot\frac A{36}=\frac{13}{6}A.$$ Подставляем известный кредит и вычисляем размер ежемесячного уменьшения: $$d=\frac{27}{36}=0{,}75.$$ Основной долг, возвращённый за год: $$12\cdot 0{,}75=9.$$ Проценты за год: $$I=\frac{3}{100}\cdot 78\cdot 0{,}75=0{,}03\cdot 58{,}5=1{,}755.$$ Складываем обе части платежей и переводим миллионы в рубли: $$V=9+1{,}755=10{,}755,$$ $$10{,}755\cdot1000000=10755000.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$9+58{,}5\cdot\frac{3}{100}=9+1{,}755=10{,}755.$$ Ответ: 10755000 рублей.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 36 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{36}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их: $$12-1+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$36d,\quad 35d,\quad 34d,\quad 33d,\quad 32d,\quad 31d,\quad 30d,\quad 29d,\quad 28d,\quad 27d,\quad 26d,\quad 25d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{36}=\frac{1}{3}A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$36+35+34+33+32+31+30+29+28+27+26+25=\frac{(36+25)\cdot 12}{2}=366.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$366d=366\cdot\frac A{36}=\frac{61}{6}A.$$ По условию кредит известен, поэтому найдём конкретные суммы: $$d=\frac{9}{36}=0{,}25,$$ $$V_{\text{долг}}=12\cdot0{,}25=3,$$ $$B=366\cdot 0{,}25=91{,}5.$$ Переводим известную выплату из тысяч в миллионы и вычитаем возвращённый основной долг. Остаток — проценты за этот год: $$V=\frac{4830}{1000}=4{,}83,$$ $$I=4{,}83-3=1{,}83.$$ Проценты равны $r/100$ от найденной базы. Составляем уравнение: $$91{,}5\cdot\frac r{100}=1{,}83.$$ Умножаем обе части на 100, затем делим на базу: $$91{,}5r=183,$$ $$r=\frac{183}{91{,}5}=2.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$3+91{,}5\cdot\frac{2}{100}=3+1{,}83=4{,}83.$$ Ответ: 2 %.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 60 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{60}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их: $$12-1+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$60d,\quad 59d,\quad 58d,\quad 57d,\quad 56d,\quad 55d,\quad 54d,\quad 53d,\quad 52d,\quad 51d,\quad 50d,\quad 49d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{60}=0{,}2A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$60+59+58+57+56+55+54+53+52+51+50+49=\frac{(60+49)\cdot 12}{2}=654.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$654d=654\cdot\frac A{60}=10{,}9A.$$ При ставке 2 % с каждого рубля начисляют $2/100$ рубля процентов. За выбранный год проценты составят: $$I=\frac{2}{100}\cdot 10{,}9A=0{,}218A.$$ Прибавляем возвращаемый основной долг к процентам: $$V=0{,}2A+0{,}218A=0{,}418A.$$ Сумму из условия переводим из тысяч в миллионы делением на 1000: $$\frac{2508}{1000}=2{,}508.$$ Приравниваем найденное выражение к этой сумме и делим обе части на коэффициент при $A$: $$0{,}418A=2{,}508,$$ $$A=\frac{2{,}508}{0{,}418}=6.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$1{,}2+65{,}4\cdot\frac{2}{100}=1{,}2+1{,}308=2{,}508.$$ Ответ: 6 млн рублей.

Нужно найти минимальную процентную ставку. Из условия о равномерном уменьшении долга сначала определим, какая сумма останется перед последним начислением процентов. Считаем деньги в миллионах рублей. За 10 лет основной долг $8$ уменьшается до нуля одинаковыми частями. Поэтому за один год возвращают: $$d=\frac{8}{10}=0{,}8.$$ До последнего года уже сделано 9 таких уменьшений. Вычитаем их из первоначального долга: $$D=8-9\cdot 0{,}8=8-7{,}2=0{,}8.$$ В последний январь к оставшемуся долгу прибавляются проценты. После этого последний платёж должен закрыть всю увеличенную сумму: $$P_{\text{посл}}=D+\frac{r}{100}D=D\left(1+\frac r{100}\right).$$ По условию последний платёж не меньше 0,92 млн рублей, поэтому: $$0{,}8\left(1+\frac r{100}\right)\ge 0{,}92.$$ Делим обе части на положительное число 0,8, поэтому знак неравенства не меняется: $$1+\frac r{100}\ge \frac{0{,}92}{0{,}8}=1{,}15.$$ Вычитаем единицу из обеих частей: $$\frac r{100}\ge 1{,}15-1=0{,}15.$$ Умножаем обе части на 100: $$r\ge 0{,}15\cdot100=15.$$ Ставка может быть и дробной: условие не требует целого числа. Но среди всех допустимых значений нижняя граница уже найдена. Она включена, поскольку в условии написано «не менее». Проверяем граничную ставку: $$0{,}8\left(1+\frac{15}{100}\right)=0{,}8\cdot1{,}15=0{,}92.$$ При меньшей ставке множитель и последний платёж будут меньше требуемого. Ответ: 15 %.

Нужно найти минимальную процентную ставку. Из условия о равномерном уменьшении долга сначала определим, какая сумма останется перед последним начислением процентов. Считаем деньги в миллионах рублей. За 10 лет основной долг $7$ уменьшается до нуля одинаковыми частями. Поэтому за один год возвращают: $$d=\frac{7}{10}=0{,}7.$$ До последнего года уже сделано 9 таких уменьшений. Вычитаем их из первоначального долга: $$D=7-9\cdot 0{,}7=7-6{,}3=0{,}7.$$ В последний январь к оставшемуся долгу прибавляются проценты. После этого последний платёж должен закрыть всю увеличенную сумму: $$P_{\text{посл}}=D+\frac{r}{100}D=D\left(1+\frac r{100}\right).$$ По условию последний платёж не меньше 0,819 млн рублей, поэтому: $$0{,}7\left(1+\frac r{100}\right)\ge 0{,}819.$$ Делим обе части на положительное число 0,7, поэтому знак неравенства не меняется: $$1+\frac r{100}\ge \frac{0{,}819}{0{,}7}=1{,}17.$$ Вычитаем единицу из обеих частей: $$\frac r{100}\ge 1{,}17-1=0{,}17.$$ Умножаем обе части на 100: $$r\ge 0{,}17\cdot100=17.$$ Ставка может быть и дробной: условие не требует целого числа. Но среди всех допустимых значений нижняя граница уже найдена. Она включена, поскольку в условии написано «не менее». Проверяем граничную ставку: $$0{,}7\left(1+\frac{17}{100}\right)=0{,}7\cdot1{,}17=0{,}819.$$ При меньшей ставке множитель и последний платёж будут меньше требуемого. Ответ: 17 %.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 48 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{48}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 37-го по 48-й включительно. Всего их: $$48-37+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{48}=0{,}25A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$78d=78\cdot\frac A{48}=1{,}625A.$$ По условию кредит известен, поэтому найдём конкретные суммы: $$d=\frac{12}{48}=0{,}25,$$ $$V_{\text{долг}}=12\cdot0{,}25=3,$$ $$B=78\cdot 0{,}25=19{,}5.$$ Переводим известную выплату из тысяч в миллионы и вычитаем возвращённый основной долг. Остаток — проценты за этот год: $$V=\frac{3195}{1000}=3{,}195,$$ $$I=3{,}195-3=0{,}195.$$ Проценты равны $r/100$ от найденной базы. Составляем уравнение: $$19{,}5\cdot\frac r{100}=0{,}195.$$ Умножаем обе части на 100, затем делим на базу: $$19{,}5r=19{,}5,$$ $$r=\frac{19{,}5}{19{,}5}=1.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$3+19{,}5\cdot\frac{1}{100}=3+0{,}195=3{,}195.$$ Ответ: 1 %.

Нужно найти срок кредита. Все суммы считаем в миллионах рублей. Обозначим неизвестное число лет через $n$. Так как основной долг уменьшается каждый год на одинаковую величину и в конце равен нулю, эта величина равна: $$d=\frac{5}{n}.$$ Перед первым начислением процентов долг равен всему кредиту, перед вторым — кредиту минус $d$, перед последним — только $d$. Получаем $n$ остатков: $$5,\quad 5-d,\quad 5-2d,\quad\ldots,\quad d.$$ Это арифметическая прогрессия. Сумму найдём по формуле: число членов умножить на полусумму первого и последнего. Подставляем $d$ и раскрываем произведение: $$B=\frac{n(5+d)}2=\frac{n(5+\frac{5}{n})}2$$ $$B=\frac{5n+5}2=\frac{5(n+1)}2.$$ Все выплаты состоят из возвращения исходного кредита и начисленных процентов. Переплата по условию равна: $$I=7{,}5-5=2{,}5.$$ Ставка 20 % означает множитель 0,2 при сумме остатков. Составляем уравнение: $$0{,}2\cdot\frac{5(n+1)}2=2{,}5,$$ Вычисляем коэффициент: $$0{,}5(n+1)=2{,}5.$$ Делим на положительный коэффициент, затем вычитаем единицу: $$n+1=\frac{2{,}5}{0{,}5}=5,$$ $$n=5-1=4.$$ Проверяем найденный срок: $$5+0{,}2\cdot\frac{5(4+1)}2=5+2{,}5=7{,}5.$$ Получилось положительное целое число лет, а общая выплата совпадает с условием. Ответ: 4 лет.

Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей. За 72 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга: $$d=\frac A{72}.$$ Нужному году соответствуют платежи с 1-го по 12-й включительно. Всего их: $$12-1+1=12.$$ Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги: $$72d,\quad 71d,\quad 70d,\quad 69d,\quad 68d,\quad 67d,\quad 66d,\quad 65d,\quad 64d,\quad 63d,\quad 62d,\quad 61d.$$ Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут: $$12d=12\cdot\frac A{72}=\frac{1}{6}A.$$ Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов: $$72+71+70+69+68+67+66+65+64+63+62+61=\frac{(72+61)\cdot 12}{2}=798.$$ Значит, общая база начисления процентов: $$798d=798\cdot\frac A{72}=\frac{133}{12}A.$$ Подставляем известный кредит и вычисляем размер ежемесячного уменьшения: $$d=\frac{18}{72}=0{,}25.$$ Основной долг, возвращённый за год: $$12\cdot 0{,}25=3.$$ Проценты за год: $$I=\frac{1}{100}\cdot 798\cdot 0{,}25=0{,}01\cdot 199{,}5=1{,}995.$$ Складываем обе части платежей и переводим миллионы в рубли: $$V=3+1{,}995=4{,}995,$$ $$4{,}995\cdot1000000=4995000.$$ Проверим согласованность сумм при найденных значениях: $$3+199{,}5\cdot\frac{1}{100}=3+1{,}995=4{,}995.$$ Ответ: 4995000 рублей.