15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму
27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
$–$ к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равна общая сумма платежей в 2029 году?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $10755000$ рублей.
Решение
Нужно учесть платежи только за указанный в условии календарный год. Не складываем выплаты за весь срок. Считаем суммы в миллионах рублей.
За 36 месяцев основной долг уменьшается до нуля одинаковыми частями. Если кредит равен $A$, каждый месяц возвращают следующую часть основного долга:
$$d=\frac A{36}.$$
Нужному году соответствуют платежи с 25-го по 36-й включительно. Всего их:
$$36-25+1=12.$$
Перед первым платежом основной долг ещё равен всему кредиту. Перед каждым следующим начислением он на $d$ меньше. Поэтому перед выбранными начислениями остаются следующие долги:
$$12d,\quad 11d,\quad 10d,\quad 9d,\quad 8d,\quad 7d,\quad 6d,\quad 5d,\quad 4d,\quad 3d,\quad 2d,\quad d.$$
Каждый платёж состоит из двух частей: возвращаемой части основного долга $d$ и процентов с долга перед этим начислением. Основного долга за выбранный период вернут:
$$12d=12\cdot\frac A{36}=\frac{1}{3}A.$$
Для процентов нужно сложить все долги перед начислениями. Коэффициенты при $d$ образуют арифметическую прогрессию: соседние числа отличаются на 1. Сумма равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов:
$$12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{(12+1)\cdot 12}{2}=78.$$
Значит, общая база начисления процентов:
$$78d=78\cdot\frac A{36}=\frac{13}{6}A.$$
Подставляем известный кредит и вычисляем размер ежемесячного уменьшения:
$$d=\frac{27}{36}=0{,}75.$$
Основной долг, возвращённый за год:
$$12\cdot 0{,}75=9.$$
Проценты за год:
$$I=\frac{3}{100}\cdot 78\cdot 0{,}75=0{,}03\cdot 58{,}5=1{,}755.$$
Складываем обе части платежей и переводим миллионы в рубли:
$$V=9+1{,}755=10{,}755,$$
$$10{,}755\cdot1000000=10755000.$$
Проверим согласованность сумм при найденных значениях:
$$9+58{,}5\cdot\frac{3}{100}=9+1{,}755=10{,}755.$$
Ответ: 10755000 рублей.